Аналитичность ФКП (полярные координаты)

[artempalkin]

Задача: Восстановить аналитическую функцию по заданному аргументу:
$\Phi=\varphi+r \sin \varphi$

Как я решаю: применяю условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера)
$\frac{\partial R}{\partial r}=\frac Rr \frac{\partial \Phi}{\partial \varphi}$
$R\frac{\partial \Phi}{\partial r}=-\frac 1r \frac{\partial R}{\partial \varphi}$

Подставить аргумент как бы несложно, но получается система из двух уравнений в частных производных (относительно $R$, причем каждое содержит и саму функцию), которую я что-то не особо понимаю, как решать...

[Padawan]

Так и занесите $1/R$ под знак производной. Типа $\frac1R\frac{\partial R}{\partial r}=\frac{\partial\ln R}{\partial r}$. Ещё способ решения этой задачи. Знаете, чему равен $\ln f(z)$?

[artempalkin]

Padawan в сообщении #1447265 писал(а):

Типа $\frac1R\frac{\partial R}{\partial r}=\frac{\partial\ln R}{\partial r}$. Ещё способ решения этой задачи

Спасибо большое, сегодня утром меня неожиданно "озарило", что $R$ можно занести :)

По поводу $\ln f(z)=\ln R + i\Phi$... а эта функция тоже аналитическая, поэтому можно воспользоваться "обычными" условиями КР (ДЭ). Но, я подозреваю, получатся по большому счету те же уравнения (только $R$ уже будет внесен под производную).

[Padawan]

Да, то же самое и будет. Вы знаете функцию, мнимая часть которой равна $r\sin\varphi=y$, а мнимая часть которой равна $\varphi$?

[artempalkin]

Padawan в сообщении #1447366 писал(а):

Вы знаете функцию, мнимая часть которой равна $r\sin\varphi=y$, а мнимая часть которой равна $\varphi$?

Хммм, ну если мнимая часть есть $y$, то действительная $x$, а если мнимая часть $\varphi$, то действительная $\ln r$, я так полагаю :)

Вообще да, можно было догадаться :)