Cечение плоскостью произвольного трёхгранного угла

[byury]

Добрый вечер! Возможно кто-то сможет помочь с решением задачи:

Сечение плоскостью произвольного трёхгранного угла образует треугольник, подобный данному...

Известны плоские углы трёхгранного угла, углы треугольника и, соответственно, соотношение сторон (можно в условии принять конкретные значения самих длин сторон)...
Найти какие отрезки отсекает плоскость на лучах, образующих трёхгранный угол - в относительных единицах (соотношение) или конкретные значения...

Пытался решать через геом. место точек, из которых отрезки видны под одним углом... замкнутое аналитическое выражение не удалось получить...

Рисунок не привожу, надеюсь и так понятно...

[Someone]

byury в сообщении #1446974 писал(а):

Сечение плоскостью произвольного трёхгранного угла образует треугольник, подобный данному...

Задача невнятно сформулирована. Пересекая трёхгранный угол различными плоскостями, можно получить треугольники вовсе не подобные друг другу. И какому "данному" треугольнику они должны быть подобны?

[byury]

)) где же тут "невнятно"..?
треугольнику с заданными углами (заданными сторонами) ...
все эти плоскости будут параллельны... нужно определить любую в отрезках на лучах...

единственно можно добавить, что каждой стороне треугольника (в сечении) соответствует плоский угол трёхгранного угла...

Пробовал расположить угол в системе координат - одно ребро вдоль оси ОХ, второе в плоскости ХОY, третье... в пространстве... Нашёл уравнения прямых, соответствующих лучам... В качестве начальной вершины искомого треугольника взял точку (1,0,0) и дальше теорема косинусов для треугольника, соотношение сторон... Но пока решения не удалось получить... Мэпл с символьными вычислениями тоже в отказ пошёл...

-- 25.03.2020, 01:25 --

Задачу можно переформулировать с позиций тетраэдра...

В произвольном тетраэдре известны плоские углы при вершине и полностью определено основание (длины рёбер и углы треугольника в основании)...
Необходимо найти длины ребер от вершины к основанию!

Так может нагляднее постановка?))

[nnosipov]

byury в сообщении #1446983 писал(а):

В произвольном тетраэдре известны плоские углы при вершине и полностью определено основание (длины рёбер и углы треугольника в основании)...
Необходимо найти длины ребер от вершины к основанию!

Пусть основание --- это треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$, а углы при вершине все по $60^\circ$. Для длин ребер получаем систему из трех уравнений (нужно применить теорему косинусов для каждой из трех боковых граней). Ее решения в общем случае выражаются через корни многочлена степени $8$, так что ожидать простых алгебраических выражений в ответе не стоит.

[byury]

так нет ожидания простых решений...(

[BVR]

Может задачу можно сформулировать так: Дан трехгранный угол и треугольник. Можно ли провести плоскость так, чтобы в сечении получился треугольник, подобный данному?

[byury]

BVR в сообщении #1447658 писал(а):

Может задачу можно сформулировать так: Дан трехгранный угол и треугольник. Можно ли провести плоскость так, чтобы в сечении получился треугольник, подобный данному?

именно так!))) только ещё и найти это сечение относительно лучей, образующих угол...
Да, ещё один момент - известна привязка длины стороны треугольника и плоского угла между лучами, образующими трёхгранный угол...
Можно сколько угодно переформулировать... к решению это не приближает..)

[BVR]

byury в сообщении #1447860 писал(а):

Да, ещё один момент - известна привязка длины стороны треугольника и плоского угла между лучами, образующими трёхгранный угол...

А что за "привязка"? А то в общем виде все выглядит грустно...

[byury]

Привязка проста - сторона а видна под углом альфа, b под углом бетта, и т.д...

-- 28.03.2020, 17:44 --

вот похожая задача... и вроде предложено решение, но не очень понял... там в комплексной системе предлагается - с этим сложности (уже подзабыл), а ветка давно мёртвая..(

topic105643.html

[nnosipov]

byury в сообщении #1448979 писал(а):

вот похожая задача...

Это вырожденный случай Вашей задачи (трехгранный угол оказывается плоским), поэтому и легко решается. Почувствуйте разницу: система

$$x^2+y^2+xy=c^2, \quad y^2+z^2+yz=a^2, \quad z^2+x^2+zx=b^2$$

(вырожденный случай) сводится к биквадратному уравнению, а вот система

$$x^2+y^2-xy=c^2, \quad y^2+z^2-yz=a^2, \quad z^2+x^2-zx=b^2$$

(частный, но не вырожденный случай) сводится к общему уравнению 4-й степени. Конечно, и это уравнение можно решить в радикалах, но ответ будет ужас-ужас.

Может быть, Вы объясните, зачем нужно решать эту задачу в общем виде? На мой взгляд, в такой формулировке она выглядит довольно бессмысленно.

[byury]

на ПЛИС нет возможности тянуть математические пакеты и решать численно...(