Излучение абсолютно черного тела в оболочке. ФЛФ, з-ча 45-3

[Uchitel'_istorii]

Условие английское и ответ:

PNG. писал(а):

45-3. A black body of radius $r$ at temperature $T$ is surrounded by a thin shell of radius $R$, black on both sides. Find by what factor this radiation shield reduces the rate of cooling of the body. (Consider space between sphere evacuated, with no thermal conduction losses).

Условие русское и решения 1965, 1978 гг.:

PNG писал(а):

45. 3. Черное тело радиуса $r$ при температуре $T$ окружено зачерненной с обеих сторон тонкой оболочкой ра- диуса $R$. Найдите, насколько такой радиационный экран уменьшает скорость охлаждения тела. (В пространстве между телом и оболочкой — вакуум, потерь, связанных с теплопроводностью, нет.)

Мое решение:
1. Из последнего абзаца лекции 45 следует, что площадка излучает мощность $\sigma T^4$ на единицу площади площадки, что является усреднением по косинусу.

Используя рисунок PNG, можно записать интеграл мощности площадки $\text{d}A$ экрана с температурой $T_R$ , который равняется $\sigma T_R^4$:

$\textstyle \int _{0}^{\pi/2} I_0 \cos(\theta) \tfrac{L\sin(\theta)\cdot 2\pi\cdot L \text{d}\theta}{2\pi L^2} = $

$=\textstyle \int _{0}^{\pi/2} I_0 \cos(\theta) \sin(\theta)\cdot \text{d}\theta =

$=-\tfrac{I_0}{4}\textstyle \int _{0}^{\pi/2} \text{d}\cos(2\theta) = \sigma T_R^4$

$\therefore\text{ } I_0 = 2\sigma T_R^4$

2. Мощность участка экрана $\text{d}A$ в пределах конуса, касающегося внутреннего тела:
$-\tfrac{I_0}{4}\textstyle \int _{0}^{\alpha} \text{d}\cos(2\theta) = $

$=-\tfrac{I_0}{4} (\cos(2\alpha) - 1) = $

$=-\tfrac{I_0}{4} (-2\sin^2(\alpha)) = \sigma T_R^4 (r/R)^2 $

3. Изменение внутренней энергии экрана $U_R$ за время $\text{d}t$:
$\text{d}U_R = \text{d}Q_\text{R in}-\text{d}Q_\text{R out}$
$\text{d}U_R = \text{const}\cdot \text{d}T_R$
$\text{d}Q_\text{R in} = 4\pi r^2 \sigma T^4 \text{d}t + (4\pi R^2 \sigma T_R^4 - 4\pi R^2 \sigma T_R^4 (r/R)^2)\text{d}t$,
где слагаемое в скобках — энергия экрана, которая прошла мимо внутреннего тела и вновь попала на внутреннюю поверхность экрана.
$\text{d}Q_\text{R out} = 8\pi R^2 \sigma T_R^4\text{d}t$

\therefore \text{ }T_R^4 = T^4\tfrac{r^2}{R^2+r^2} - \text{const}\tfrac{\text{d}T_R}{\text{d}t}$

Чтобы ответ сошелся, надо пренебречь членом $\text{const}\tfrac{\text{d}T_R}{\text{d}t}$.

4. Без экрана тело $r$ излучает:
$\text{d}Q_\text{r out} = 4\pi r^2 \sigma T^4 \text{d}t$
С экраном $R$ тело $r$ излучает:
$\text{d}Q_\text{r out, sh} = (4\pi r^2 \sigma T^4 - 4\pi R^2\sigma T_R^4 (r/R)^2)\text{d}t =$
$ = (4\pi r^2 \sigma T^4 - 4\pi \sigma T^4\tfrac{r^4}{R^2+r^2})\text{d}t =$
$ = 4\pi\sigma T^4( r^2 - \tfrac{r^4}{R^2+r^2})\text{d}t =$
$ = 4\pi\sigma T^4\tfrac{r^2R^2 }{R^2+r^2}\text{d}t = \tfrac{R^2 }{R^2+r^2} \text{d}Q_\text{r out}$

Внутренняя энергия тела $r$ пропорциональна его температуре:
$\text{d}U_r = \text{const} \cdot \text{d}T = - \text{d}Q_\text{r out} $
$\tfrac{\text{d}T_\text{sh}}{\text{d}t} = \tfrac{R^2 }{R^2+r^2} \tfrac{\text{d}T}{\text{d}t}$

Вопросы.
Правильно ли выведена формула усреднения мощности площадки в п.1?
Почему в решениях в п.3 пренебрегают слагаемым $\text{const}\tfrac{\text{d}T_R}{\text{d}t}$?

[DimaM]

Uchitel'_istorii в сообщении #1446920 писал(а):

Почему в решениях в п.3 пренебрегают слагаемым $\operatorname{const}\tfrac{\text{d}T_R}{\text{d}t}$?

Скорее всего, теплоемкость оболочки принимается малой по сравнению с теплоемкостью тела.