Электрон и проводник

[Pphantom]

Выделил образовавшийся оффтопик в «Задачи для физика и математика»

[fred1996]

profilescit
Вы написали уравнения с одной лишней переменной. Которая только путает карты.
Задача ведь "чисто механическая". А в механике мы пользуемся очень часто законами сохранения. Так что время нам как бы и не нужно. В любой точке пространства мы можем написать например закон сохранения энергии. Этого достаточно, чтобы написать дифур для "стационарной" кривой. А что значит решить такой дифур? Это значит нарисовать семейство гладких кривых, удовлетворяющих данный дифур, а потом по начальным данным выбрать кривую, удовлетворяющую этим начальным данным.

[profilescit]

fred1996 в сообщении #1446342 писал(а):

profilescit
теперь вспомните, как себя ведет заряженная частица в магнитном поле с точки зрения кривизны траектории. Кривизна траектории в большинстве задач с магнитным полем - основной фактор. Грубо говоря, математически задача сводится к описанию гладкой кривой, для которой известна кривизна в любой точке пространства. Вот вам и готовый дифур.

Модуль силы Лоренца в каждой точке будет равным модулю центробежной силы в этой точке

$\frac{m v^2}{R} = q v B_z = \frac{q v \mu I}{2 \pi x}$

Где $R$ - радиус кривизны траектории в этой точке

$R = \frac{2 \pi m v x}{q \mu I}$

То есть радиус кривизны траектории растет линейно с расстоянием от оси проводника, в точке наибольшего отдаления радиус кривизны соответственно будет максимальным. Увы, больше пока не пойму что можно из этого узнать.

-- 22.03.2020, 18:32 --

fred1996 в сообщении #1446355 писал(а):

В любой точке пространства мы можем написать например закон сохранения энергии.

Сила Лоренца меняет только направление скорости, в любой точке траектории скорость электрона будет такой-же по модулю, соответсвенно и закон сохранения энергии не пойму что нам дает. Видимо, я что-то упускаю...

[fred1996]

profilescit
Да, вы упустили еще одно важное уравнение. Если у вас задано параметрическое уравнение кривой, как радиус кривизны вычисляется по уравнению кривой?
Понятно, что в нашем случае пареметром может служить просто координата $x$

[Mihr]

На всякий случай отмечу ошибку.

profilescit в сообщении #1446326 писал(а):

Определитель, с учетом нулевых компонент, получился:
$v_y B_z \vec i + v_x B_z \vec j$

Ошибка в знаке в одном из слагаемых. Соответственно, неправильно записано одно из дифференциальных уравнений.
Хотя, возможно, это уже не актуально. Если будете решать через кривизну, решайте через кривизну, пожалуйста.

[profilescit]

fred1996 в сообщении #1446361 писал(а):

profilescit
Да, вы упустили еще одно важное уравнение. Если у вас задано параметрическое уравнение кривой, как радиус кривизны вычисляется по уравнению кривой?
Понятно, что в нашем случае пареметром может служить просто координата $x$

Если я не ошибаюсь, радиус кривизны дается уравнением
$R = \frac{v^3}{v_x a_y - v_y a_x}$

-- 22.03.2020, 18:53 --

Mihr в сообщении #1446364 писал(а):

Ошибка в знаке в одном из слагаемых. Соответственно, неправильно записано одно из дифференциальных уравнений.
Хотя, возможно, это уже не актуально. Если будете решать через кривизну, решайте через кривизну, пожалуйста.

Было бы отлично уметь решать и так, и так
Спасибо что заметили ошибку. В таком случае получается

$v_y \frac{q \mu I}{2 \pi x} = m a_x$

$v_x \frac{q \mu I}{2 \pi x} = - m a_y$

[fred1996]

profilescit
А зачем вам скорости и ускорения, если есть просто функция $y(x)$?
Забудьте про физику. Физик уже решил задачу.
У вас осталась голая математика. :)

[Mihr]

profilescit в сообщении #1446365 писал(а):

Было бы отлично уметь решать и так, и так

Тогда на всякий случай намечу решение, которое можно получить из написанной Вами пары уравнений.
Прежде всего упростим запись, заменив произведение ряда констант одним символом:

$a_x=\dfrac{b}{x}v_y$

$a_y=-\dfrac{b}{x}v_x$

где $b=\dfrac{q \mu_0 I}{2 \pi m}$

Чтобы получить из этой системы уравнений одно уравнение, можно поступить так. Продифференцируем первое из этих уравнений по времени. В полученное таким образом уравнение подставим значение $a_y$ согласно второму уравнению, а также значение $v_y$, выраженное из первого уравнения. Таким образом будет получено ОДУ третьего порядка, но зато только одно. Его порядок легко понижается на единицу за счёт того, что оно не содержит явно независимую переменную $t$, то есть оно практически сразу же сводится обратно к уравнению второго порядка. Это уравнение, в свою очередь, легко сводится к ЛДУ первого порядка относительно некоторой комбинации входящих в него функций. Интегрируем это ЛДУ и, используя начальные условия, получаем новое ДУ первого порядка, которое решать уже не нужно. Достаточно подставить в него $v_x=0$ (что соответствует точке разворота), и отсюда получается нужный результат. Возможно, по этому описанию Вам покажется, что решение очень громоздкое, но если попробуете всё это сами проделать, думаю, убедитесь: всё не так уж сложно.

[fred1996]

Mihr
Честно говоря, побоялся решать вашим способом.
А че бояться то? Глаза боятся - руки делают.

[Mihr]

fred1996,
а я для сравнения решил по-Вашему. Действительно, так, как Вы советуете, получается несколько короче. Вот только нужно помнить выражение для кривизны плоской кривой.

[fred1996]

Тогда и я формулы напишу.
С одной стороны (физика) радиус кривизны:
$ r(x)=\frac{2\pi mv}{e\mu_0I}x$
С другой стороны (математика) радиус кривизны:
$r(x)=\frac{(1+y_x^2)^\frac32}{y_x_x}$

Ну а если кто не помнит радиуса кривизны плоской кривой, хорошая задачка попрактиковаться.
Форма кривой в элементарных функциях не выражается, зато ответ находится.
Такого сорта задачки мои любимые.

[DimaM]

profilescit в сообщении #1446326 писал(а):

можно записать систему уравнений

$ q \frac{dy}{dt} \frac{\mu I}{2 \pi x} = m \frac{d^2 x}{dt^2}$

$ q \frac{dx}{dt} \frac{\mu I}{2 \pi x} = m \frac{d^2 y}{dt^2}$

А теперь попробуйте представить правую часть в виде первой производной по времени.

fred1996 в сообщении #1446342 писал(а):

Кривизна траектории в большинстве задач с магнитным полем - основной фактор. Грубо говоря, математически задача сводится к описанию гладкой кривой, для которой известна кривизна в любой точке пространства.

Это все интересно, но в данной задаче совершенно избыточно.

[AnatolyBa]

Не могу удержаться, еще один способ.
Начинаем с
$\dfrac{d v_x}{d t}=\dfrac{b}{x}v_y$

$\dfrac{d v_y}{d t}=-\dfrac{b}{x}v_x$

Далее, во первых $v_x^2+v_y^2=v^2$ (это можно вывести непосредственно из уравнений, а можно и так догадаться).
Выражаем $v_y$ через $v_x$.
Во вторых, заменяем производные по времени на производные по $x$ с помощью $dt=\dfrac{dx}{v_x}$, что выглядит не очень математично, но можно и обосновать. Физики, впрочем, на это не обращают внимания.
Получаем уравнение для $v_x^2$

[DimaM]

AnatolyBa в сообщении #1446431 писал(а):

Далее, во первых $v_x^2+v_y^2=v^2$ (это можно вывести непосредственно из уравнений, а можно и так догадаться).
Выражаем $v_y$ через $v_x$.
Во вторых, заменяем производные по времени на производные по $x$ с помощью $dt=\dfrac{dx}{v_x}$, что выглядит не очень математично, но можно и обосновать. Физики, впрочем, на это не обращают внимания.
Получаем уравнение для

Да зачем так сложно-то?
Заменяем во втором уравнении $v_x=dx/dt$ и получаем уравнение с разделяющимися переменными. В начальной точке $v_y$ известна, на максимальном расстоянии (которое требуется найти) - тоже.

[rascas]

profilescit, Предлагаю ещё один способ: Ввести новую переменную угол поворота траектории от начального направления $\alpha(t)$.

Заменяем переменные:
$v_x(t)=v\cos\alpha(t)$
$v_y(t)=v\sin\alpha(t)$

Расстояние от проводника максимально когда: $\sin\alpha(t)=1$