Функции распределения, выпуклость

[etudiante]

Здравствуйте!
Мне надо показать, что если X - случайная величина, имеющая непрерывное распределение с плотностью f(x) и функцией распределения F(x), и ее математическое ожидание E(X) существует, то для любого x\in R интегралы \int_{-\infty}^{x} (x-z)f(z) dz и

$$\int_x^{\infty} (z-x)f(z) dz$$

существуют и

$$\int_{-\infty}^{x} (x-z)f(z) dz=\int_{-\infty}^{x} F(z)dz$$

и

$$\int_x^{\infty} (z-x)f(z) dz=\int_x^{\infty} (1-F(z))dz$$

.
Кроме того, показать, что интегралы в правой части этих выражений являются выпуклыми функциями.

Я рассуждала так. Рассматриваем левые части и интегрируем по частям. Так, для первого интгеграла имеем (u=x-z, v=F(z))

$$\int_{-\infty}^{x} (x-z)f(z) dz=(x-z)F(z)\vert_{-\infty}^{x}+\int_{-\infty}^{x} F(z)dz=\int_{-\infty}^{x} F(z)dz$$

. Корректна ли математически такая запись? Меня смущает выражение (x-z)F(z)\vert_{-\infty}^{x}. Кроме того, я чувствую, что это выражение в пределе равно нулю, но как обосновать, что lim (x-z)F(z)=0, если z стремится к -\infty не знаю (это ведь неопределенность вида 0 \times \infty получается). И как доказать, что вообще интегралы в левой части существуют? Я думаю, надо задействовать факт, что математическое ожидание X существует, но не знаю как.

Про выпуклость... Я пробовала доказать, что для интегралов справа выполняется свойство h((x_1+x_2)/2)\leq(h(x_1)+h(x_2))/2, где h( ) - данный интеграл, но ничего не получается.

Помогите, пожалуйста.

[Brukvalub]

А если просто:

\[ \int\limits_{ - \infty }^x {(x - z)f(z)dz = x} \int\limits_{ - \infty }^x {f(z)dz - \int\limits_{ - \infty }^x {zf(z)dz} } = xF(x) - \int\limits_{ - \infty }^x {zf(z)dz} \]

, при этом последний интеграл существует, поскольку матожидание конечно. Затем можно продифференцировать равенство

$$\int_{-\infty}^{x} (x-z)f(z) dz=\int_{-\infty}^{x} F(z)dz$$

и из равенства производных получить само равенство, найдя константу, на которую отличаются его левая и правая части.
А выпуклость связана со знаком второй производной - здесь вообще все очевидно.

[etudiante]

Спасибо большое Вам за ответ.
У меня все-таки остались вопросы.
1) Про выпуклость
Я правильно поняла, что Вы советуете рассмотреть

$$(\int_{-\infty}^{x} F(z)dz)''=F'(x)=f(x)$$

;

$$(\int_x^{\infty} (1-F(z))dz)''=(F(x)-1)'=f(x)$$

,
затем так как f(x)\geq 0 для всех x, то функции являются выпуклыми? Но из каких соображений следует, что изначально интегралы в правых частях являются дважды дифференцируемыми функциями?
2) Не поняла про константу.
Рассматриваем

$$\int_{-\infty}^{x} (x-z)f(z) dz=\int_{-\infty}^{x} F(z)dz$$

Дифференцируем:

$$(\int_{-\infty}^{x} (x-z)f(z) dz)'=(\int_{-\infty}^{x} F(z)dz)'$$

;

$$(xF(x)-\int_{-\infty}^{x} zf(z) dz)'=F(x)$$

;

$$F(x)+xf(x)-xf(x)=F(x)$$

;

$$F(x)=F(x)$$

.

[Brukvalub]

etudiante в сообщении #144636 писал(а):

Но из каких соображений следует, что изначально интегралы в правых частях являются дважды дифференцируемыми функциями?

Из правила дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом и из определения плотности.

etudiante в сообщении #144636 писал(а):

2) Не поняла про константу.

Если производные двух функций равны на всей вещественной оси, то сами функции могут отличаться лишь на константу. Вот т убедитесь, что эта константа равна 0.

[etudiante]

Цитата:

из определения плотности.

Т.е. плотность - всегда дифференцируемая функция?

Цитата:

Если производные двух функций равны на всей вещественной оси, то сами функции могут отличаться лишь на константу. Вот т убедитесь, что эта константа равна 0.

Не понимаю, как показать, что константа равна нулю. Объясните, пожалуйста, поподробнее.

[Brukvalub]

etudiante в сообщении #144645 писал(а):

Т.е. плотность - всегда дифференцируемая функция?

Нет, далеко не всегда.

etudiante в сообщении #144645 писал(а):

Не понимаю, как показать, что константа равна нулю. Объясните, пожалуйста, поподробнее.

Можно попробовать поискать удобное значение х или какой-либо предел левой и правой частей равенства...

[etudiante]

Все равно непонятно мне, почему в данном случае можно дважды дифференцировать. Про константу тоже непонятно, но вроде бы у меня получилось доказать, используя интегрирование по частям.

[Brukvalub]

Первая производная существует и равна подинтегральной функции, то есть функции распределения,(которая дифференцируема), по теореме о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом.
Вывод о том, что функция распределения дифференцируема, я сделал из слов:

etudiante в сообщении #144622 писал(а):

случайная величина, имеющая непрерывное распределение с плотностью f(x)

обычно эти слова означают соотношение $\exists \;F'(x) = f(x)$. Если же это в условии не подразумевается, то, боюсь, и утверждение задачи перестанет быть верным, да и для рассуждений понадобится совсем другая техника - интеграл Лебега и т.п.

[etudiante]

Все, вопрос про дифференцируемость для доказательства выпуклости в данном случае теперь понятен. Спасибо Вам большое. А как нужно было бы действовать, чтобы доказать выпуклость, если случайная величина принимала бы, например, только целые значения? Есть какие-то общие подходы?

[Brukvalub]

etudiante в сообщении #144691 писал(а):

А как нужно было бы действовать, чтобы доказать выпуклость, если случайная величина принимала бы, например, только целые значения? Есть какие-то общие подходы?

Выпуклость какой функции?

[Henrylee]

etudiante писал(а):

А как нужно было бы действовать, чтобы доказать выпуклость, если случайная величина принимала бы, например, только целые значения? Есть какие-то общие подходы?

Если вы про выпуклость

$$ G(x)=\int\limits_{-\infty}^x F(z)\,dz, $$

то существование второй производной не обязательно. Достаточно, что
$G'(x)=F(x)$ не убывает (для любой случайной величины), а это и есть выпуклость.

[etudiante]

Да, я про выпуклость интегралов в правой части. Почему для выпуклости достаточно того, что G'(x)=F(x) не убывает (что F(x) не убывает мне понятно)?

[Henrylee]

etudiante писал(а):

Почему для выпуклости достаточно того, что G'(x)=F(x) не убывает (что F(x) не убывает мне понятно)?

Докажите сами, что дифференцируемая функция с монотонной производной выпукла. (в частном случае, когда функция дважды дифф-а, знакопостоянство второй производной и дает монотонность первой)