Найти максимум выражения

[Ksanty]

Пусть $x>0,y>0,z>0$, действительные чисел, такие что : $x+y+z=1$, тогда
$\max\limits_{x,y,z}(\frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-zx})=?$
Я попробовал такого :
Если $\max\limits_{x,y,z}(\frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-zx}) = C$, где $C$, какая то $\operatorname{const}$, то будем иметь :
$(1-yz)(1-zx)+(1-xy)(1-zx)+(1-xy)(1-yz)\leqslant C(1-xy)(1-yz)(1-zx)$, потом я
пытался использовать неравенства между средним арифметическом и средним геометрическом
трех неотрицательных чисель по отношение к $(1-xy),(1-yz),(1-zx)$, но пока не дошел до
ничего! Если как то догадатся какое может быть "$C$", то может быть все будет легко, но ...
Извините, как то может быть $C = \frac{27}{8}$, потому что выражение
$(\frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-zx})$ симетричное относно
$x,y,z$ и тогда экстремум кажется будет при $x=y=z=\frac{1}{3}, а

$(\frac{1}{1-\frac{1}{3}.\frac{1}{3}}+\frac{1}{1- \frac{1}{3}.\frac{1}{3}}+\frac{1}{1-\frac{1}{3}.\frac{1}{3}}) = \frac{27}{8}$, а пока надо доказать этого!

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[novichok2018]

Попробовать честно на условный экстремум по Лагранжу?

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1446024 писал(а):

Попробовать честно на условный экстремум по Лагранжу?

Зачем Лагранж? Убрать линейную связь, и все дела. Но с системой уравнений на критические (или как там они называются) точки все плохо: только с помощью Maple и т.п., при этом еще и существуют посторонние критические точки. В общем, на этом пути сплошное варварство.

Довольно яркий пример задачи, где элементарный подход предпочтительнее.

[dmd]

(Описание на языке AMPL)

var x >= 0; var y >= 0; var z >= 0;

subject to st : x + y + z = 1;

maximize obj : 1/(1-x*y) + 1/(1-y*z) + 1/(1-z*x);

#option solver locsol;
#option locsol_options 'verbosity=normal timing=1 time_between_displays=5 timelimit=30';

#option solver knitro;
#option knitro_options 'timing=1 threads=3 outlev=2';

#option solver baron;
#option baron_options 'threads=3 outlev=1';

#option solver scip;

#option solver couenne;

option solver bonmin;

#option solver ipopt;

solve;

print; print "obj = " & obj;
print; print "x = " & x & "    y = " & y & "    z = " & z;

(Численное решение солвером Bonmin)

Bonmin 1.8.7 using Cbc 2.10.3 and Ipopt 3.12.13
bonmin:
Cbc3007W No integer variables - nothing to do

******************************************************************************
This program contains Ipopt, a library for large-scale nonlinear optimization.
 Ipopt is released as open source code under the Eclipse Public License (EPL).
         For more information visit http://projects.coin-or.org/Ipopt
******************************************************************************

NLP0012I
              Num      Status      Obj             It       time                 Location
NLP0014I             1         OPT -3.375        5 0.004
Cbc3007W No integer variables - nothing to do

        "Finished"

bonmin: Optimal

obj = 3.375

x = 0.3333333333333333    y = 0.33333333333333337    z = 0.3333333333333333

[Sasha2]

Если все там расписать как положено и аккуратно, то исходное неравенство сведётся вот к такому:

$3-11(xy+yz+zx)+19xyz(x+y+z)-27(xyz)^2\geqslant0$

Далее с учётом $x+y+z=1$ и $xyz\geqslant27(xyz)^2$ (легко получается по AM-GM)
нам останется показать, что $3-11(xy+yz+zx)+18xyz\geqslant0$.

[kotenok gav]

Sasha2 в сообщении #1446060 писал(а):

Далее с учётом $x+y+z=1$ и $xyz\geqslant27(xyz)^2$ (легко получается по AM-GM)
нам останется показать, что $3-11(xy+yz+zx)+18xyz\geqslant0$.

Это не так. Из $a-b\geq c$ и $d\geq b$ не следует $a-d\geq c$.

[nnosipov]

kotenok gav
Да нет, там все окей.

[Sasha2]

kotenok gav в сообщении #1446085 писал(а):

Sasha2 в сообщении #1446060 писал(а):

Далее с учётом $x+y+z=1$ и $xyz\geqslant27(xyz)^2$ (легко получается по AM-GM)
нам останется показать, что $3-11(xy+yz+zx)+18xyz\geqslant0$.

Это не так. Из $a-b\geq c$ и $d\geq b$ не следует $a-d\geq c$.

А это вообще непонятно к чему.

[nnosipov]

Sasha2 в сообщении #1446060 писал(а):

нам останется показать, что $3-11(xy+yz+zx)+18xyz\geqslant0$

А вот это действительно легко показать стандартным способом.

[kotenok gav]

Ой, я действительно затупил. У нас же в обратную сторону, да.

[Ksanty]

Sasha2 в сообщении #1446060 писал(а):

нам останется показать, что $3-11(xy+yz+zx)+18xyz\geqslant0$.

Ну да - это точно.Из
$8((1-xy)(1-yz)+(1-yz)(1-zx)+(1-zx)(1-xy)) \leqslant 27(1-xy)(1-yz)(1-zx) \Leftrightarrow $

$8(3-2(xy+yz+zx)+xyz(x+y+z))\leqslant 27(1-(xy+yz+zx)+xyz(x+y+z) - x^2y^2z^2)\Leftrightarrow $

$8(3-2(xy+yz+zx)+xyz)\leqslant 27(1-(xy+yz+zx)+xyz - x^2y^2z^2)\Leftrightarrow $

$3-11(xy+yz+zx)+19xyz-27x^2y^2z^2\geqslant0$ (1)
Из неравенства $(\frac{x+y+z}{3})^3 \geqslant xyz \Rightarrow 1-27xyz \geqslant 0 \Rightarrow xyz(1-27xyz)\geqslant 0$
После подставки это в (1) получаем, что :
искомые неравенства эквивалентное на то : $3-11(xy+yz+zx)+18xyz \geqslant 0$
Потом воспользуемся что : $x+y+z=1$ и сделаем неравенсво гомогенное
и так :
$3-11(xy+yz+zx)+18xyz \geqslant 0 \Leftrightarrow $
$3(x+y+z)^3 -11(x+y+z)(xy+yz+zx)+18xyz \geqslant 0$
Это я делаю в попытке как то воспользоватся неравенства Исая Шура! Попробую что получится и доложу здесь!

[Someone]

(Ksanty)

Ksanty в сообщении #1446209 писал(а):

гомогенное

Однородное.

[Sasha2]

Ksanty в сообщении #1446209 писал(а):

Это я делаю в попытке как то воспользоватся неравенства Исая Шура! Попробую что получится и доложу здесь!

Верной дорогой идете, товарищ!