Электрон и проводник

[profilescit]

Электрон вылетает нормально к плоскости длинного цилиндрического проводника радиуса $a$ по которому течет ток $I$. На какое максимальное расстояние электрон отдалится от проводника если его начальная скорость равна $v$?

$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l}=\mu I$ откуда находим магнитное поле на расстояние $x, x > a$ от центра проводника $B = \frac{\mu I}{2\pi x}$

Сила которая действует на электрон, сила Лоренца, равна $ \vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}$

А дальше - тьма, ведь все векторы меняют свое направление в каждый момент времени. Думал рассматривать это как движение под центральными силами, но ведь это не совсем центральная сила.
Хочется найти траекторию движения электрона, либо же найти радиус вектор.

[DimaM]

profilescit
Возьмем компоненты скорости вдоль провода $v_z$ и от провода $v_x$.
Чему равны $dv_z/dt, dv_x/dt$?

[Munin]

profilescit в сообщении #1444278 писал(а):

нормально к плоскости длинного цилиндрического проводника

Вот в этом месте у меня сломался моск. Плоскость или цилиндрический?

[Mihr]

Munin в сообщении #1444299 писал(а):

Плоскость или цилиндрический?

Похоже, это задача из задачника Иродова, пересказанная своими словами. Вот как она сформулирована в задачнике (издание 1998 г.):

Цитата:

2.416. С поверхности цилиндрического провода радиуса $a$, по которому течет постоянный ток $I$, вылетает электрон с начальной скоростью $v_0$, перпендикулярной поверхности провода. На какое максимальное расстояние удалится электрон от оси провода, прежде чем повернуть обратно под действием магнитного поля тока?

[Munin]

Ну вы меня успокоили :-) Но всё-таки при пересказе своими словами надо немного за смыслом-то следить :-)

[DimaM]

Mihr в сообщении #1444304 писал(а):

Похоже, это задача из задачника Иродова, пересказанная своими словами.

Я встречал эту задачу в варианте, когда начальная скорость параллельна проводнику. Принципиальной разницы, впрочем, нет.

[Mihr]

profilescit в сообщении #1444278 писал(а):

Хочется найти траекторию движения электрона

Не уверен, что это можно сделать, используя обычный набор "элементарных" функций. Не усложняйте себе задачу, она решается и так, без нахождения уравнения траектории в явном виде. Однако без умения составлять по тексту задачи и решать обыкновенные дифференциальные уравнения здесь, мне кажется, не обойтись.
profilescit, Вы знакомы с этой темой (в смысле, с обыкновенными дифференциальными уравнениями)?

[profilescit]

Mihr в сообщении #1444328 писал(а):

profilescit, Вы знакомы с этой темой (в смысле, с обыкновенными дифференциальными уравнениями)?

Да, знаком. Видимо, проблема состоит в том что не всегда у меня получается составить эти уравнения в задачах по физике, решить их особого труда не составляет.

[Mihr]

Ну, давайте составим уравнение вместе, если желание решить эту задачу у Вас сохранилось. Для начала: как бы Вы ввели систему отсчёта?

[profilescit]

Mihr в сообщении #1446069 писал(а):

Ну, давайте составим уравнение вместе, если желание решить эту задачу у Вас сохранилось. Для начала: как бы Вы ввели систему отсчёта?

Конечно, желание есть

Я ввел систему отсчета связанную с проводником, ось OY вдоль проводника и ось OX перпендикулярно проводнику, в сторону первоначального направления вектора скорости электрона. Начало координат решил поместить в точке возвращения электрона.

[Mihr]

profilescit в сообщении #1446169 писал(а):

Начало координат решил поместить в точке возвращения электрона.

Вот это очень странно. Как же при таком выборе системы отсчёта Вы собираетесь записывать начальные условия? Вы заранее, до решения, знаете на каком расстоянии друг от друга находятся точка старта и точка возвращения?
Давайте лучше так: пусть начало отсчёта $O$ лежит на оси провода, ось $Ox$ проходит через точку старта электрона, ось $Oy$ направим вдоль провода (как у Вас). Напишите, пожалуйста, уравнение движения (сиречь, второй закон Ньютона) в векторной форме, а также начальные условия.
Да, ещё: предлагаю букву $a$ сохранить за ускорением, а радиус провода переобозначить буквой $r$ либо $R$. Согласны?

[profilescit]

Mihr в сообщении #1446202 писал(а):

Напишите, пожалуйста, уравнение движения (сиречь, второй закон Ньютона) в векторной форме, а также начальные условия.
Да, ещё: предлагаю букву $a$ сохранить за ускорением, а радиус провода переобозначить буквой $r$ либо $R$. Согласны?

Ось OY я направил "вниз"

Второй закон Ньютона: $ q[\vec v \times \vec B] = m \vec a $
где $ \vec B = B_x \vec i + B_y \vec j + B_z \vec k$
в плоскости двжиения электрона $ B_y = B_x = 0$
$ B_z = \frac{\mu I}{2 \pi x} $

Начальные условия: $ x_0 = r$ $ y_0 = 0$ $ v_y=0$ $ v_z = 0$ $ v_x = v$

[Mihr]

profilescit в сообщении #1446312 писал(а):

Ось OY я направил "вниз"

Что значит "вниз"? Поперёк провода? Тогда ось $Oz$ - вдоль провода, я Вас правильно понял?
Подумайте теперь: какая из компонент вектора магнитной индукции будет отлична от нуля, и чему равна эта (ненулевая) компонента? После чего распишите векторное произведение в координатах.

[profilescit]

Mihr в сообщении #1446319 писал(а):

Что значит "вниз"? Поперёк провода? Тогда ось $Oz$ - вдоль провода, я Вас правильно понял?
Подумайте теперь: какая из компонент вектора магнитной индукции будет отлична от нуля, и чему равна эта (ненулевая) компонента? После чего распишите векторное произведение в координатах.

Ось $Ox$ направлена в сторону первоначального движения электрона
$Oy$ направлен против направления тока, вдоль проводника
$Oz$ перпендикулярно проводнику, формируя правовинтовую систему

Компоненты вектора магнитной индукции я расписал, вроде как правильно

Векторное произведения для любого момента времени в течении движения будет

$ \begin{bmatrix} i & j & k \\ v_x & v_y & v_z \\ B_x & B_y & B_z \end{bmatrix} $

Определитель, с учетом нулевых компонент, получился:
$v_y B_z \vec i + v_x B_z \vec j$

Тогда, как я понимаю, с учетом того что $ \vec a = a_x \vec i + a_y \vec j$ можно записать систему уравнений

$ q \frac{dy}{dt} \frac{\mu I}{2 \pi x} = m \frac{d^2 x}{dt^2}$

$ q \frac{dx}{dt} \frac{\mu I}{2 \pi x} = m \frac{d^2 y}{dt^2}$

[fred1996]

profilescit
теперь вспомните, как себя ведет заряженная частица в магнитном поле с точки зрения кривизны траектории. Кривизна траектории в большинстве задач с магнитным полем - основной фактор. Грубо говоря, математически задача сводится к описанию гладкой кривой, для которой известна кривизна в любой точке пространства. Вот вам и готовый дифур.