Занятный вопрос про импликацию о том же самом

[arseniiv]

Как многие уже в курсе, люди с завидной периодичностью спотыкаются на поведении импликации, когда её проходят. Может ли что-то прояснять аналогия с множеством функций $A\to B$? Если интересоваться населённостью множеств, это та же импликация, но примеры функций $\varnothing\to A$ и невозможность функции $A\to\varnothing$ для непустого $A$ могут быть проще ощутимы. Или нет, кто как считает?

[Munin]

Мне кажется, это вы слишком с высокой точки зрения на это дело смотрите. Мне кажется, импликацию надо давать на конкретных примерах, типа "если на улице мокро, то шёл дождь", "если число больше 3, то оно больше 2".

И вообще, трудность не в импликации. Трудность в том, что мы из истинности $A\to B$ должны сделать какие-то выводы про истинность $A$ и $B.$ То есть, "вычислять в обратную сторону". Это всегда непросто. Я бы больше сосредоточился (на школьном уровне) на понятиях прямой, обратной и противоположной теоремы, опять с простыми наглядными примерами ("если $x>y,$ то $x>y-1$").

[arseniiv]

Munin в сообщении #1444116 писал(а):

Мне кажется, импликацию надо давать на конкретных примерах, типа "если на улице мокро, то шёл дождь", "если число больше 3, то оно больше 2".

Да, это по-моему хорошие примеры, provincialka ещё приводила аналогичный пример «если число делится на 4, то оно делится на 2».

Munin в сообщении #1444116 писал(а):

И вообще, трудность не в импликации. Трудность в том, что мы из истинности $A\to B$ должны сделать какие-то выводы про истинность $A$ и $B.$ То есть, "вычислять в обратную сторону".

Вроде и в прямую бывает, хотя не возьмусь дать ссылки на посты с таким.

[Утундрий]

Всегда относился к этой конструкции потребительски. А у неё есть хорошее, годное определение, кроме через таблицу истинности? Ну, и смутных аналогий с изусным "Если ..., то ..."

[arseniiv]

«Влечёт». Но что такое это «влечёт» в точности (что эквивалентно заданию таблицы истинности), не всеми сразу принимается.

[Утундрий]

Пусть есть такие звери - высказывания. Каждый зверь имеет либо цвет истины, либо цвет лжи. Отловим трёх зверей и если первый из них цвета истины, а второй цвета лжи, то третьего красим в ложь; в остальных случаях третьего красим в истину. Осталось назвать третьего - импликацией первых двух и теория звероимпликации готова.

[arseniiv]

Ну да, но проблема-то не в определении per se, а в мотивации. И видимо достаточно опытные к моменту определения понимают её и не спотыкаются, а недостаточно опытные… и вот тут вопрос, есть ли быстрый фикс, ну и в принципе ответ на него уже давно есть, и я создавал тему как раз про конкретно множество функций, но она уже ушла оттуда.

[Утундрий]

Споткнуться можно и на понимании того, что импликация это само по себе высказывание. Если это и определение поняты, то можно приступать к решению всяких шерлокоугодных задачек. Типа, про масть лошадок мы ничего не знаем, но вот такие-то и сякие-то импликации того с тем выкрашены так-то и так-то. Что-то из этого следует? Если такие и сякие выбраны составителем задачек правильно, то следует. Катарсис, всеобщее ликование.

[beroal]

Мне кажется, надо сразу учить логику первого порядка. Примеры от Munin и provincialka требуют квантора всеобщности. Это если надо учиться доказывать, а не изучать модели.