Уравнение и длина общего перпендикуляра

[Whitaker]

Здравствуйте!

Прямая $\ell$ проходит через две точки $A(3,1,2,4)$ и $B(4,2,3,6)$, a двумерная плоскость $\Pi$ - через точки $C(2,1,3,-1), D(6,1,0,2),E(3,0,2,0)$. Написать уравнение общего перпендикуляра к прямой $\ell$ и плоскости $\Pi$ и найти его длину.

Мое решение: Легко заметить, что $\ell$ можно написать как $(3,1,2,4)+\langle (1,1,1,2)\rangle$ и $\Pi$ как $(2,1,3,-1)+\langle (4,0,-3,3),(1,-1,-1,1)\rangle$.

Я буду использовать следующую теорему из моих лекций по линейной алгебре:

Цитата:

Расстояние между двумя аффиными подпространствами $(\mathfrak{C},U)$ и
$(\mathfrak{B},W)$ равно длине ортогональной составляющей вектора $\overline{PQ}$, соединяющая любую точку $P\in \mathfrak{C}$
с любой точкой $Q\in \mathfrak{B}$, относительно подпространства $U+W$:

$$\text{dist}(\mathfrak{C},\mathfrak{B})=|\text{ort}_{U+W} \overline{PQ}| \quad \text{for all} \quad P\in \mathfrak{C},Q\in \mathfrak{B}$$

В моем случае $U=\langle (1,1,1,2)\rangle, W=\langle (4,0,-3,3),(1,-1,-1,1)\rangle$ и возьмем $A=(3,1,2,4), C=(2,1,3,-1)$. Тогда $\overline{CA}=(1,0,-1,5)$. И легко показать, что $U+W=\langle (1,1,1,2),(4,0,-3,3),(1,-1,-1,1)\rangle=\langle a_1,a_2,a_3\rangle$.

Из линейной алгебры мы знаем, что ортогональная проекция вектора $\overline{CA}$ на $U+W$ это вектор $\text{pr}_{U+W}\overline{CA}=\alpha a_1+\beta a_2+\gamma a_3$ и $\alpha,\beta,\gamma$ могут быть вычислены из следующего матричного уравнения:

$$G(a_1,a_2,a_3)\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} (a_1,\overline{CA}) \\ (a_2,\overline{CA}) \\ (a_3,\overline{CA}) \end{bmatrix},$$

где $G(a_1,a_2,a_3)$ матрица Грама системы векторов $a_1,a_2,a_3$. Вычисляя явно матрицу Грама я получаю следующее матричное уравнение

$$\begin{bmatrix} 7 & 7 & 1 \\ 7 & 34 & 10 \\ 1 & 10 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 10 \\ 22 \\ 7 \end{bmatrix}$$

с решением $\alpha=\frac{4}{3},\beta=\frac{-1}{6},\gamma=\frac{11}{6}$. Тогда вычисления нам показывают, что $\text{pr}_{U+W}\overline{CA}=(\frac{5}{2},\frac{-1}{2},0,4)$. Тогда ортогональная составляющая находится легко:

$$\text{ort}_{U+W}\overline{CA}=\overline{CA}-\text{pr}_{U+W}\overline{CA}=(-\frac{3}{2},\frac{1}{2},-1,1).$$

Тогда по вышеуказанной теореме расстояние между $\ell$ и $\Pi$ есть

$$|\text{ort}_{U+W}\overline{CA}|=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{1}{4}+2}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}.$$

И такой же ответ в моей книжке.

Но беда начинается именно здесь, когда я пытаюсь найти уравнение общего перпендикуляра. Ортогональная составляющая пересекает плоскость $\Pi$ в точке $R=(2,1,3,-1)+\text{pr}_{U+W}\overline{QP}=(2,1,3,-1)+(\frac{5}{2},\frac{-1}{2},0,4)=(\frac{9}{2},\frac{1}{2},3,3)$. Тогда общий перпендикуляр проходит через точки $R$ и $A$ и может быть написан так

$$A+\langle \overline{RA}\rangle =(3,1,2,4)+\langle (\frac{3}{2},\frac{-1}{2},1,1)\rangle.$$

Но ответ в книжке другой и я вот уже в третий раз проверяю свои вычисления и пытаюсь найти ошибку, но никак.

Может ли кто-нибудь объяснить мне в чем моя ошибка, пожалуйста? Не надо мне давать готовое решение. Я всего лишь прошу объяснить, что я делаю не так.

[nnosipov]

Whitaker в сообщении #1443902 писал(а):

Но ответ в книжке другой

А Вы уверены в этом? Ведь прямая задается точкой и направляющим вектором неоднозначно.

[Whitaker]

nnosipov в сообщении #1443909 писал(а):

Whitaker в сообщении #1443902 писал(а):

Но ответ в книжке другой

А Вы уверены в этом? Ведь прямая задается точкой и направляющим вектором неоднозначно.

Да это я знаю, но прямая там вообще другая. Не могу понять, что я не так делаю.

[Someone]

Для начала я бы проверил, пересекает ли ваша прямая заданные прямую и плоскость, и в каких именно точках, и перпендикулярна ли она им. Если всё благополучно, проделал бы то же самое для прямой из ответа.

[Whitaker]

Зачем проверять? Моя прямая имеет направляющий вектор, который перпендикулярен плоскости и прямой. Более того прямая проходит через точку $A$, лежащая на прямой и точку $R$ лежащая на плоскости.

[Someone]

Whitaker в сообщении #1443913 писал(а):

Зачем проверять?

Ну, если Вы абсолютно убеждены, что не могли наделать никаких ошибок… значит, эту часть проверки Вы сделали. Делайте вторую.

[Whitaker]

Я могу быть неправ. Модет ли кто нибудь мне просто помочь с этой задачкой? Я уже третий день над ней бьюсь.

[arseniiv]

Как-то подозрительно, что перпендикуляр проходит через $A$, какие тому причины?

[Someone]

Я же говорю, надо начать с тщательной проверки своего решения (перпендикуляр ли, пересекает ли), и, если ошибок нет, то проверить ответ в задачнике по той же схеме. Проверять надо не свои вычисления, а выполнение условия задачи.
Whitaker, по-моему, Ваш "общий перпендикуляр" не пересекает плоскость.

[arseniiv]

У меня получились точки $\frac13(5, -1, 2, 4)\in\ell$ и $\frac16(19, -5, 10, 2)\in\Pi$, и я использовал обычный метод: составил систему $\vec x\cdot\overline{AB} = \vec x\cdot\overline{CD} = \vec x\cdot\overline{CE} = 0$, где $\vec x = \overline{MN}$, $M = C + a\overline{CD} + b\overline{CE}$, $N = A + c\overline{AB}$, из которой находятся $a, b, c$ и потому $M$ и $N$ и перпендикуляр $\vec x$.

-- Вт мар 10, 2020 00:27:09 --

Ага, и вектор-перпендикуляр-то правильный! А вот с чего $A$ взялась, тут-то и дыра.

-- Вт мар 10, 2020 00:38:08 --

Или можно совместно ортогонализовать $\overline{AB},\overline{CD},\overline{CE},\overline{CA}$ и ортогонализацией последнего будет тот самый вектор $\vec x$, потом опять решать систему $\vec x = \overline{MN}$, сначала я так и стал, но по глупости вместо ортогонализации я делал какую-то ерунду и проверка провалилась.

[svv]

Whitaker
Я решал таким же простым способом, как arseniiv, получил тот же ответ.
Вы достаточно близко подошли к правильному ответу. Возможно, найти ошибку поможет такая информация. Пусть искомый перпендикуляр пересекает прямую в точке $N$, а плоскость в точке $M$. Тогда в Ваших обозначениях
$N=A-\alpha a_1$
$M=C+\beta a_2+\gamma a_3$