Упорядочивание сумм и гипотеза Римана

[Padawan]

Вот есть такая функция Мертенса $M(x)=\sum_{n\leqslant x} \mu(n)$, где $\mu(n)$ -- функция Мёбиуса. Гипотеза Римана эквивалентна оценке $M(x)=O(x^{1/2+\varepsilon})$ для всех $\varepsilon>0$.

Мне почему-то кажется, что эта оценка вообще никак не зависит от закономерности распределения простых чисел. Рассмотрим произвольную неограниченно возрастающую последовательность положительных чисел $0<a_1<a_2<\ldots<a_n<\ldots$, $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=+\infty$. Расмотрим множество всевозможных сумм $S=\{a_{i_1}+\ldots+a_{i_k}\mid i_1<\ldots<i_k, k\in \mathbb N\}$. Предположим, что любой элемент из $S$ представим в виде такой суммы единственным образом: $a_{i_1}+\ldots+a_{i_k}=a_{j_1}+\ldots+a_{j_l}$ влечет $k=l$ и $i_1=j_1, \ldots, i_k=j_k$. Расположим элементы множества $S$ в виде возрастающей последовательности $S=\{s_m\}_{m=1}^\infty$. И определим аналог функции Мёбиуса $\nu(m)=(-1)^k$, где $s_m=a_{i_1}+\ldots+a_{i_k}$, то есть $k$ есть количество слагаемых, из которых составлена $s_m$, если слагаемых чётное число, то $\nu(m)=1$, если нечётное, то $\nu(m)=-1$. В силу того, что члены множества $S$ относительно друг друга располагаются довольно хаотично (в смысле четные и нечетные суммы), чисто из комбинаторных соображений, должно следовать, что функция $A(x)=\sum_{m\leqslant x}\nu(m)$ будет удовлетворять оценке $A(x)=O(x^{1/2+\varepsilon})$.

Хотелось бы придумать контрпример А то слишком круто выглядит, чтобы быть правдой.

[Padawan]

Нет, в общем случае неверное утверждение. Пусть уже имеются всевозможные суммы чисел $a_i$ с номерами $i\leq n$. Возьмём сколь угодно много чисел $a_{n+1},\ldots,a_N$, идущих подряд очень близко друг к другу. То есть какое-то ограничение на рост и плотность последовательности все равно надо.

[vicvolf]

Padawan в сообщении #1443821 писал(а):

Вот есть такая функция Мертенса $M(x)=\sum_{n\leqslant x} \mu(n)$, где $\mu(n)$ -- функция Мёбиуса. Гипотеза Римана эквивалентна оценке $M(x)=O(x^{1/2+\varepsilon})$ для всех $\varepsilon>0$.
В силу того, что члены множества $S$ относительно друг друга располагаются довольно хаотично (в смысле четные и нечетные суммы), чисто из комбинаторных соображений, должно следовать, что функция $A(x)=\sum_{m\leqslant x}\nu(m)$ будет удовлетворять оценке $A(x)=O(x^{1/2+\varepsilon})$.

Если события появления $1$ и $-1$ имеют равные вероятности, то это простое случайное блуждание. Известно, что сумма независимых простых случайных блужданий подчиняется закону повторного логарифма. Осталось доказать независимость случайных блужданий и равную вероятность указанных событий для функции Мертенса.

[Padawan]

vicvolf в сообщении #1443845 писал(а):

Осталось доказать независимость и равную вероятность указанных событий для функции Мертенса.

Да, только что такое вероятность и независимость в данном случае? Более реалистичным мне кажется путь через оценки плотности распределения четных и нечетных сумм.

Рассмотрим такую задачу: пусть известна функция распределения $f(x)=|\{n\mid a_n\leqslant x\}|$ множества $\{a_n\}$. Как выразить через неё функции распределения множеств $S_2=\{a_i+a_j|i<j\}$, $S_3=\{a_i+a_j+a_k|i<j<k\}$, $\ldots$ , $S_k=\{a_{i_1}+a_{i_2}+\ldots+a_{i_k}|i_1<i_2<\ldots<i_k\}$, $S_{\text{чет}}$ -- суммы четного числа слагаемых, $S_{\text{нечет}}$ -- cуммы нечетного числа слагаемых, $S$ -- все суммы?

[vicvolf]

Padawan
Как четное и нечетное число слагаемых в сумме связано с четным и нечетным количеством простых делителей первой степени натурального числа и вообще с простыми числами? Никак! Поэтому нет никакой связи с эквивалентной формулировкой гипотезы Римана.

[Padawan]

vicvolf
Возьмите $\{a_n=\ln p_n\}$, где $p_n$ -- $n$-тое простое число. Суммы чисел такого вида дадут логарифмы натуральных чисел. Если количество слагаемых четное, то функция Мёбиуса равна $-1$, если нечётное, то $1$.

-- Пн мар 09, 2020 13:33:51 --

Идея в том, чтобы найти совместную плотность распределения чётных и нечётных сумм. Грубо говоря, если на каком то участке много четных сумм, то на этом же участке много и нечетных сумм, и наоборот. Поэтому плюсы и минусы на этом участке взаимно уничтожаться. Возможно, есть какая-то закономерность в распределении сумм, не связанная конкретно с особенностью распределения именно простых чисел.

[vicvolf]

Padawan в сообщении #1443850 писал(а):

vicvolf
Возьмите $\{a_n=\ln p_n\}$, где $p_n$ -- $n$-тое простое число. Суммы чисел такого вида дадут логарифмы натуральных чисел. Если количество слагаемых четное, то функция Мёбиуса равна $-1$, если нечётное, то $1$.

Согласен

Цитата:

Идея в том, чтобы найти совместную плотность распределения чётных и нечётных сумм. Грубо говоря, если на каком то участке много четных сумм, то на этом же участке много и нечетных сумм, и наоборот. Поэтому плюсы и минусы на этом участке взаимно уничтожаться. Возможно, есть какая-то закономерность в распределении сумм, не связанная конкретно с особенностью распределения именно простых чисел.

А это в общем случае неверно. В качестве примера возьмем функцию Лиувилля. Она резко уходит вниз, так как количество натуральных чисел с четным числом простых делителей на начальном интервале натурального ряда больше количества натуральных чисел с нечетным числом простых делителей. Здесь можно говорить только об асимптотическом равенстве плотностей или частот $1$ и $-1$.

Padawan в сообщении #1443821 писал(а):

В силу того, что члены множества $S$ относительно друг друга располагаются довольно хаотично (в смысле четные и нечетные суммы), чисто из комбинаторных соображений, должно следовать, что функция $A(x)=\sum_{m\leqslant x}\nu(m)$ будет удовлетворять оценке $A(x)=O(x^{1/2+\varepsilon})$.

А как Вы собираетесь доказывать, что при равенстве частот $1,-1$ получается такая оценка сверху у суммы $A(x)=O(x^{1/2+\varepsilon})$ ? Как я понимаю, комбинаторные соображения - это вероятностные?

[vicvolf]

Padawan в сообщении #1443846 писал(а):

Да, только что такое вероятность и независимость в данном случае?

Кстати плотность строго возрастающей последовательности на конечном интервале натурального ряда является конечной вероятностной мерой. Отсюда вытекает понятие независимости в данном случае.