Векторное пространство, полное по строго различным нормам

[demolishka]

Существует ли векторное пространство $\mathbb{E}$ и нормы на нем, скажем, $\|\cdot\|_{1}$, $\|\cdot\|_{2}$ такие, что $\mathbb{E}$ полно по каждой из норм, но никакая из норм не сильнее другой.

Мотивация следующая. Из теоремы Банаха об обратном операторе вытекает следствие об эквивалентности норм: если векторное пространство $\mathbb{E}$ полно в нормах $\|\cdot\|_{1}$, $\|\cdot\|_{2}$ и хотя бы одна из них сильнее другой, то нормы эквивалентны. На самом деле, как нетрудно показать, это следствие равносильно теореме. Для норм свойство быть сильней выражается в соответствующем отношении топологий. Будем называть топологию на векторном пространстве банаховой, если существует порождающая её норма, относительно которой пространство становится банаховым. Поэтому теорему Банаха об обратном операторе можно переформулировать следующим образом: на данном векторном пространстве две банаховы топологии либо совпадают, либо существенно различны (т. е. никакая из них не содержится в другой). Таким образом, исходный вопрос в том, можно ли усилить это утверждение до: всякое векторное пространство обладает не более одной банаховой топологией.

[pogulyat_vyshel]

я в этом не шибко разбираюсь, а что трудно найти два неизоморфных банахова пространства, которые были бы изоморфны в алгебраическом смысле, там, скажем, базисы Гамеля равномощны ?

[vpb]

А, коллега уже написал. Но всё равно ту же мысль подробнее. Возьмем любое бесконечномерное банахово пространство $E$, да хоть $l_2$. Легко построить обратимый оператор $A\colon E\longrightarrow E$, в чисто алгебраическом смысле, такой, что ни $A$, ни $A^{-1}$ не непрерывны. Теперь рассмотрим две нормы на $E$ : исходную $\|\cdot\|$, и связанную с ней "переносом структуры" по $A$, т.е. $\|x\|'=\|Ax\|$. Предлагается понять, что нормы $\|\cdot\|$ и $\|\cdot\|'$ --- это и есть контрпример.

[demolishka]

pogulyat_vyshel,vpb, спасибо.

[novichok2018]

Эль пэ и эль два на всей оси (два разных эль пэ) - не пойдёт такой пример?

[Human]

novichok2018 в сообщении #1443739 писал(а):

Эль пэ и эль два на всей оси (два разных эль пэ) - не пойдёт такой пример?

Они ж отличаются как множества, поскольку состоят из разных функций. Причем ни одно из них не содержит в себе другого. А если взять пересечение, то оно уже не будет банаховым пространством ни по одной из норм.