Найти общий корень квадратных уравнений

[Vladonpw]

Известно, что квадратные уравнения $ax^2+bx+c=0$ и $ bx^2+cx+a=0 (a,b,c \ne 0)$ имеют общий корень. Найдите его.
Я приравнял уравнения, записал дискриминант и приравнял его к нулю для получения одного корня. Получил $b+c=2a$. Дальше по теореме Виета выразил корни уравнений. Общий корень обозначил через $x_1$.

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1+x_2=\frac{-2b}{b+c} \\ x_1 \cdot x_2=\frac{2c}{b+c} \\ x_1+x_3=\frac{-c}{b} \\ x_1 \cdot x_3=\frac{b+c}{2b} \end{array} \right.$$

Возникает вопрос. Чтобы найти этот самый общий корень, надо как-то пытаться решать эту систему или же следует что-то другое делать?

[Farest2]

Приравнять $bx+c$ из каждого уравнения.

[Vladonpw]

Farest2 в сообщении #1443769 писал(а):

Приравнять $bx+c$ из каждого уравнения.

Я вас не понял, можете пояснить?

[=SSN=]

Подставить общий корень $x_1$ в оба уравнения и исключить из получившейся системы уравнений $x_1^2$.

[Andrey A]

Vladonpw
Иногда полезно сделать всё неправильно. Представьте $x^2$ и $x$ независимыми переменными и решите относительно их линейную систему. Из полученных решений возведите второе в квадрат и приравняйте к первому. Получите уравнение без иксов, относительно какой-то переменной возможно и линейное. Иногда отлично помогает.

[Farest2]

Vladonpw в сообщении #1443770 писал(а):

Farest2 в сообщении #1443769 писал(а):

Приравнять $bx+c$ из каждого уравнения.

Я вас не понял, можете пояснить?

$bx+c=-ax^2=-a/x$.

[Евгений Машеров]

$y=\frac 1 x$

[Vladonpw]

Евгений Машеров в сообщении #1443775 писал(а):

$y=\frac 1 x$

Что вы хотите этим сказать?

[Mihr]

Vladonpw, очевидно, в условиях этой задачи среди корней данных уравнений не может быть равного нулю. Давайте первое из этих уравнений умножим на $a$, второе умножим на $c$ и вычтем друг из друга полученные таким образом уравнения. Вновь полученное уравнение разделим на $x$, далее всё очевидно.

[Mihr]

Прошу прощения. Мне тут подсказали в ЛС, что я неправ. Vladonpw, ответ нужно получить в виде конкретного числа?

[ewert]

Vladonpw в сообщении #1443776 писал(а):

Что вы хотите этим сказать?

Это была, наверное, аберрация -- там коэффициенты не так переставлены.

Mihr в сообщении #1443801 писал(а):

Мне тут подсказали в ЛС, что я неправ. Vladonpw, ответ нужно получить в виде конкретного числа?

Почему неправы? -- это тоже ответ. Но конкретное число всё же лучше, раз уж оно вытягивается.

[Vladonpw]

Mihr
Точное условие задание я написал. Насчет конкретного числа или же равенства, зависящего от $a,b,c$, ничего не сказано.

[ewert]

Vladonpw в сообщении #1443813 писал(а):

Насчет конкретного числа или же равенства, зависящего от $a,b,c$, ничего не сказано.

Так ведь Farest2 всё ведь уже разжевал.

[Vladonpw]

ewert
В том случае получаем, что $ax^2=\frac{a}{x}$, соответственно $x=1$. Но почему этот ответ верный?

[Lia]

ewert в сообщении #1443815 писал(а):

Так ведь Farest2 всё ведь уже разжевал.

Проблемы с глотанием.

Vladonpw в сообщении #1443818 писал(а):

Но почему этот ответ верный?

А Вы как думаете?