Элементарная геометрия(планиметрия) - равенство треугольнико

[Эйлиринья]

Вопрос по поводу 4 признака равенства треугольников...

Я нашла их два вида:
1)Если два угла одного треугольника соответсвенно равны двум углам другого и сторона первого треугольника, противолежащая одному из этих углов, равна соответсвующей стороне второго треугольника, то такие треугольники равны.

2)Если две стороны первого треугольника соответственно равны двум сторонам второго треугольника и угол, противолежащий одной из этих сторон в первом треугольнике, равен углу, противолежащему соответственно равной ей стороне во втором треугольнике, то эти треугольники равны.


Так вот...Во втором варианте есть уточнение:
Если две стороны первого треугольника соответственно равны двум сторонам второго треугольника и угол, противолежащий большей из этих сторон в первом треугольнике, равен углу, противолежащему соответственно равной ей стороне во втором треугольнике, то эти треугольники равны.

Если это не уточнить, то найдется контр-пример, который доказывает, что второй вариант признака неверен.

И сам вопрос...
Есть ли такое уточнение в первом варианте признака...И если есть, то какой контр-пример?

[Brukvalub]

Эйлиринья в сообщении #144278 писал(а):

1)Если два угла одного треугольника соответсвенно равны двум углам другого и сторона первого треугольника, противолежащая одному из этих углов, равна соответсвующей стороне второго треугольника, то такие треугольники равны.

Но тогда равны и третьи углы, так как в евклидовой геометрии сумма всех углов треугольника равна отношению длины описанной вокруг него окружности к ее диаметру, поэтому доп. условий не нужно.

[gris]

В случае с одной стороной и двумя углами, необходимо четко указать, какой из углов противолежит данной стороне. Иначе возможны варианты. Например, если известны два(а значит три) угла треугольника и какая-то произвольная его сторона, то существует три (в случае разностороннего треугольника) подобных, но разных треугольника, в которых сторона такой длины лежит против каждого из трех углов. Конечно, случаи с равнобедренными и прямоугольными треугольниками должны рассматриваться отдельно. Там сторона явно может быть названа - основание, катет.
То есть, если указано, какой из углов противолежит данной стороне, то условий достаточно.
Во втором признаке можно по теореме синусов определить синус угла, противолежащего второй стороне, а по синусу угол однозначно определяется, только если известно, тупой он, прямой или острый. Указание, что угол лежит против большей из сторон, означает, что два остальных угла - острые, и однозначно определяюся.
А контрпример без этого уточнения легко построить. Возьмите любой равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. На продолжении основания возьмите точку Р. Треугольник РВА на равен треугольнику РВС, хотя у них общий угол Р, общая сторона РВ и АВ=АС.

[Эйлиринья]

Да, тоже так рассуждала...
Но мы не можем использовать сумму всех углов треугольника, так как мы еще не задавали меры...У нас имеется только ряд аксиом до 5 постулата...

Для второго варианта без дополнительного условия контр-пример строится легко...Внизу gris его привел....
Так вот...
А наш преподаватель предлагает нам первый вариант 4 признака...И утверждает, что к нему тоже существует дополнительное условие:

Если два угла одного треугольника соответсвенно равны двум углам другого и сторона первого треугольника, противолежащая большему из этих углов, равна соответсвующей стороне второго треугольника, то такие треугольники равны.

Принципиально ли это условие?...И можно ли придумать именно к первому варианту без доп. условия контр-пример?У меня не выходит...Если брать тупоугольный и острый треугольники, то выходит. что они могут быть только прямыми...

[Бодигрим]

Эйлиринья в сообщении #144328 писал(а):

Принципиально ли это условие?

Рассмотрите два треугольника, являющиеся зеркальными отражениями друг друга. Они не переводятся друг в друга движениями, не выходящими за пределы плоскости, а значит не равны между собой. Но у них можно выбрать соответствующие пары равных углов.

[Профессор Снэйп]

Бодигрим писал(а):

Рассмотрите два треугольника, являющиеся зеркальными отражениями друг друга. Они не переводятся друг в друга движениями, не выходящими за пределы плоскости, а значит не равны между собой.

Переводятся. Симметрия относительно прямой тоже является движением плоскости.

"Движение" --- это просто термин такой. Вовсе не подразумевающий, что надо что-то брать рукой и двигать, да ещё не отрывая от поверхности

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Бодигрим писал(а):

Рассмотрите два треугольника, являющиеся зеркальными отражениями друг друга. Они не переводятся друг в друга движениями, не выходящими за пределы плоскости, а значит не равны между собой.

Переводятся. Симметрия относительно прямой тоже является движением плоскости.

"Движение" --- это просто термин такой. Вовсе не подразумевающий, что надо что-то брать рукой и двигать, да ещё не отрывая от поверхности

Подсказка: чем симметрии принципиально отличаются от поворотов?

[Эйлиринья]

Мы можем использовать только наложения...
Мы по Атанасяну изучаем, а он использовал наложение...

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Подсказка: чем симметрии принципиально отличаются от поворотов?

Вы кому подсказываете, мне что ли?

Уважаемый ewert: последуйте совету Brukvalub, почитайте школьные учебники, прежде чем спорить. То, что понимается в них под движением --- это в точности аффинные преобразования, задаваемые в ортонормированном базисе ортогональной матрицей. Или, что то же самое, изометрические преобразования (биекции $\mathbb{R}^n$ на себя, сохраняющие эвклидово расстояние). Сохранение ориентации базиса при этом не требуется.

[ewert]

Речь лишь о том, что движенье всё же есть. Что б там ни говорил мудрец брадатый.

Ну а что к делу это не относится -- не спорю. К сожалению, стандартная геометрическая терминология в этом месте довольно неудачна. Отражения тоже принято причислять к движениям (правда, "несобственным").

[Бодигрим]

Профессор Снэйп в сообщении #144365 писал(а):

Симметрия относительно прямой тоже является движением плоскости.

Да не то, чтобы я спорил... Всему виной моя жаргонную конструкцию "движения, не выходящие за пределы плоскости". Я просто всегда представляю себе отражение как проворот в трехмерном пространстве, т. е. не выводящее, но выходящее за пределы плоскости движение.

А насчет того, что же написано в школьном учебнике... Хм, я не помню, под рукой нет, да и учился я по Погорелову, а не по новым (что вашим, что нашим) книжкам. Я просто не вижу для преподавателя иных резонов настаивать на именно такой формулировки признака равенства треугольников. Да и

Эйлиринья в сообщении #144451 писал(а):

Мы можем использовать только наложения...

[TOTAL]

Элементарная геометрия (стереометрия)
Левый и правый сапог одинакового фасона и размера равны друг другу?

[Профессор Снэйп]

Бодигрим писал(а):

...да и учился я по Погорелову...

Я тоже. И понятие о том, что есть "движение", почерпнул оттуда.

[ewert]

TOTAL писал(а):

Элементарная геометрия (стереометрия)
Левый и правый сапог одинакового фасона и размера равны друг другу?

Да. Официально -- равны.

[gris]

Если учитывать ориентацию (как в сферической геометрии), то ни один из признаков равенства треугольников работать не будет. Зато на сфере треугольники по трем углам равны:). Если из наложения исключить отражение, то равные в пространстве треугольники могут быть не равны на плоскости. А на школьников всегда производит впечатление, когда после неудачных попыток совместить два симметричных треугольника, двигая их по столу, один из треугольников переворачивается - и все получается. То же и с сапогами. Выйдите в четырехмерное пространство, если уж так хочется. Семиклассникам все же трудно понять этот ваш четвертый признак.