Часть 1
Согласно гипотезе Била уравнение

не имеет примитивного решения

при

. Частным случаем гипотезы является уравнение

.
1. Для нечетного

и при условии, что на

может делиться только

, уравнение (2) примет вид:

.

2. Для

при условиях по п.1. и при

всегда найдется пара чисел

такая, что

3. Согласно п.1 и п.2

, где

- сумма положительных слагаемых разложения бинома Ньютона.

- сумма отрицательных слагаемых разложения бинома Ньютона.
Пусть

.
Тогда и

, и

являются степенями натуральных чисел.
Таким образом, примитивные решения для уравнения (4) определятся известными следующими формулами:

,

4.Решения для (5) также известны и определяются с помощью комплексных чисел, используя следующую формулу:

Тогда:

, где

- сумма слагаемых разложения бинома Ньютона без мнимой единицы.

сумма слагаемых разложения бинома Ньютона с мнимой единицей.
Если

то

, и

являются степенями комплексных чисел.Тогда


То есть всегда существует решение для уравнения:

Заметим, что в отличии от

сумма

из равенства (11) состоит из положительных и отрицательных слагаемых разложения бинома. Поэтому при фиксированных значениях

, примитивные решения для (5) и (13) будут разными.

, Аналогично

Эти выводы (6) исчерпывают докво гипотезы Била для уравнения (2). Так как
выражения в скобках правой части (3) не имеют одновременно одинаковых примитивных решений. Решения совпадают только при показателе

.