неравенство из последних олимпиад

[Евгений Машеров]

А так?
$(a+b-c)^4+(a-b+c)^4+(-a+b+c)^4+(a+b+c-2)^2\ge 0$
Если раскрыть - не получится?

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1443574 писал(а):

А так?
$(a+b-c)^4+(a-b+c)^4+(-a+b+c)^4+(a+b+c-2)^2\ge 0$
Если раскрыть - не получится?

Если раскрыть, то будет жутко (только что попробовал, десятка три слагаемых).

[Евгений Машеров]

Сорри, очепятался, в последнем члене степень 4.
$(a+b-c)^4+(a-b+c)^4+(-a+b+c)^4+(a+b+c-2)^4\ge 0$

[Ksanty]

Из неравенства Исая Шура :
"Если $a\geqslant 0, b\geqslant 0, c \geqslant 0, r>0$, то
$a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-c)(b-a)+c^r(c-a)(c-b) \geqslant 0 $"
С учетом этого :
$a^2(a-b)(a-c)+b^2(b-c)(b-a)+c^2(c-a)(c-b) \geqslant 0\Rightarrow$
$\Rightarrow (a^4-a^3b-a^3c+a^2bc)+b^4-b^3c-b^3a+b^2ac+c^4-c^3a-c^3b+c^2ab \geqslant 0\Rightarrow$
$\Rightarrow a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geqslant a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)\Rightarrow$
(С учетом, что $a+b+c=2$)
\Rightarrow a^4+b^4+c^4+2abc \geqslant a^3(2-a)+b^3(2-b)+c^3(2-c)\Rightarrow$
$\Rightarrow 2(a^4+b^4+c^4)+2abc \geqslant 2(a^3+b^3+c^3)\Rightarrow$
$\Rightarrow a^4+b^4+c^4+abc \geqslant a^3+b^3+c^3$.

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1443593 писал(а):

Сорри, очепятался, в последнем члене степень 4.
$(a+b-c)^4+(a-b+c)^4+(-a+b+c)^4+(a+b+c-2)^4\ge 0$

Тогда на одно слагаемое больше (с квадратом было на самом деле $25$).

Думается, все велосипеды здесь уже изобретены. К сожалению, лично мне этот сюжет (олимпиадные неравенства) не особо интересен. Кстати, недавно обнаружил, что в задачном разделе журнала "Crux Mathematicorum" неравенства выделены в отдельный топик, т.е. авторские задачи на неравенства конкурируют только между собой. Видимо, это самый популярный сюжет в данном журнале.

[Pphantom]

Ksanty, изучите внимательнее правила набора формул - не надо вставлять лишние доллары в середину формулы, они должны быть только по краям. Выше поправлено.