Методы решения, как подступиться?

[Vladonpw]

Раньше не приходилось решать подобных задач, не знаю, какова тут логика, в каком направлении думать.

Дана функция $f: R\toR$ такая что для любого $x \in R$
$3f(x+2)+f(x)=3f(x+1), f(3)=3^{1000}$
Найти $f(2013)$

[mihaild]

Называется линейная рекуррентная последовательность, по названию легко находится нужная информация.

[Vladonpw]

mihaild в сообщении #1443031 писал(а):

Называется линейная рекуррентная последовательность, по названию легко находится нужная информация.

Погуглил, возник вопрос. Везде рассматривались последовательности, где корни характеристического уравнения действительные, там были даны 2 начальных значения, а у нас оба корня комплексные да еще и одно начальное значение. Как в такой ситуации поступать?
$3x^2-3x+1=0$
$x=\frac{3 \pm i\sqrt{3}}{6}$

Общее решение должно находиться следующим образом:
$y_n=c_1 \cdot (\frac{3 + i\sqrt{3}}{6})^{n} + c_2 \cdot (\frac{3 - i\sqrt{3}}{6})^{n}$

[mihaild]

Вам же дано, что значения функции вещественные, из этого можно получить некоторое условие на коэффициенты. Ну и значение в одной точке всё же дано, из него еще уравнение получается.

[DeBill]

Vladonpw в сообщении #1443053 писал(а):

а у нас оба корня комплексные да еще и одно начальное значение

Комплексность корней и вещественность функции дадут комплексную сопряженность чисел $c_1, c_2$. Беда с тем, что задано только одно начальное условие - и этого недостаточно для определения всей последовательности. К счастю, этого с нас и не требуют - а требуют найти только одно значение....
А Вы не заметили, что Ваш $x$ - это корень шестой степени из единички?
Это - поможет! И, более того, тогда задачу можно решить и без всяких теорий - а токо простым наблюдением...

[nnosipov]

DeBill в сообщении #1443058 писал(а):

А Вы не заметили, что Ваш $x$ - это корень шестой степени из единички?

Не совсем из единички, но это в данном случае неважно.

[DeBill]

Ой, я не прав: невнимателен, однако, не хватат тройки где надо. Так что периодичности последовательности (которая мне привидилась) - нет. Так что задача - нерешабельна (без доп. условий типа целочисленности последовательности, или чего-то в этом роде) - в том смысле, что данных - недостаточно.

[Vladonpw]

DeBill в сообщении #1443063 писал(а):

Ой, я не прав: невнимателен, однако, не хватат тройки где надо. Так что периодичности последовательности (которая мне привидилась) - нет. Так что задача - нерешабельна (без доп. условий типа целочисленности последовательности, или чего-то в этом роде) - в том смысле, что данных - недостаточно.

Задача из демо-варианта вступительного экзамена, думаю, что все-таки решение должно быть)

[DeBill]

Блин, ну да, как справедливо отмечено

nnosipov в сообщении #1443062 писал(а):

но это в данном случае неважно.

- это таки так...
Звиняйте.

[Vladonpw]

DeBill в сообщении #1443069 писал(а):

Блин, ну да, как справедливо отмечено

nnosipov в сообщении #1443062 писал(а):

но это в данном случае неважно.

- это таки так...
Звиняйте.

Может, все-таки мы все что-то упускаем, что может помочь в помощи ?)

[DeBill]

Vladonpw
Дык, все же уже сделано: выпишите полученное Вами в общем виде решение, из начального условия найдите связь промеж констант, сосчитайте степени комплексных чисел $x$, и будет хорошо...
А "детское решение" можно предложить такое : положите $f(4)= a$, и тупо сосчитайте по Вашим формулам следующие 5 чисел....

[mihaild]

Про то что значения вещественные это я зря сказал, это и неважно. Для задания $f$ везде нужно конечно два параметра, но чтобы вычислить $f(2013)$ хватит и $f(3)$.

[Vladonpw]

mihaild в сообщении #1443079 писал(а):

Про то что значения вещественные это я зря сказал, это и неважно. Для задания $f$ везде нужно конечно два параметра, но чтобы вычислить $f(2013)$ хватит и $f(3)$.

я вот подставил $n=3$, получил, что $3^{1000}=(c_1+c_2)\cdot(\frac{i\cdot24 \cdot \sqrt{3}}{6^{3}})$
Как это поможет в нахождении $n=2013$?

[mihaild]

А теперь подставьте $n = 2013$. Только перед этим подставьте $n = 6$, проще будет.

[Vladonpw]

mihaild в сообщении #1443084 писал(а):

А теперь подставьте $n = 2013$. Только перед этим подставьте $n = 6$, проще будет.

так от $n=6$ неизвестно же ничего