Множество частичных пределов последовательности

[bubu gaga]

К каким точкам сходится эта последовательность

$$ 0, 1, \; 0, \frac{1}{2}, 1, \; 0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1 \; \dots$$

.

У меня получается, что для любого числа на отрезке $[0, 1]$ можно выделить подпоследовательности сходящуюся к нему. Спасибо!

[Brukvalub]

bubu gaga писал(а):

К каким точкам сходится эта последовательность

$$ 0, 1, \; 0, \frac{1}{2}, 1, \; 0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1 \; \dots$$

.

У меня получается, что она сходится ко всем действительным числам на $[0, 1]$. Спасибо!

Эта последовательность вообще не сходится!

[bubu gaga]

Brukvalub писал(а):

bubu gaga писал(а):

К каким точкам сходится эта последовательность

$$ 0, 1, \; 0, \frac{1}{2}, 1, \; 0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1 \; \dots$$

.

У меня получается, что она сходится ко всем действительным числам на $[0, 1]$. Спасибо!

Эта последовательность вообще не сходится!

Прошу прощения. Неверно выразился. Имел ввиду, что можно выделить подпоследовательность, которая сходится к любой точке на интервале

[Brukvalub]

Множество частичных пределов такой последовательности действительно совпадает с отрезком $[0, 1]$.

[Cave]

Понятно, что можно действовать и непосредственно, но можно поступить и немного иначе: доказать, что 0 и 1 являются частичными пределами (тривиально), что разность между соседними членами последовательности стремится к 0 (очевидно) и что если $l$ и $L$ являются частичными пределами последовательности $(x_n)$, для которой $(x_{n+1}-x_n)\to0$, то любое число на отрезке $[l;L]$ также является частичным пределом этой последовательности (собственно, задача).

[Brukvalub]

Cave в сообщении #143202 писал(а):

Понятно, что можно действовать и непосредственно, но можно поступить и немного иначе: доказать, что 0 и 1 являются частичными пределами (тривиально), что разность между соседними членами последовательности стремится к 0 (очевидно) и что если $l$ и $L$ являются частичными пределами последовательности $(x_n)$, для которой $(x_{n+1}-x_n)\to0$, то любое число на отрезке $[l;L]$ также является частичным пределом этой последовательности (собственно, задача).

И не забыть доказать, что вне отрезка частичных пределов нет.

[Cave]

Да, и тем более разность между соседними членами не стремится к нулю, так что всё равно неверно. Впрочем, задача полезная, рекомендуется после той, что в топике.

[bubu gaga]

Cave писал(а):

Понятно, что можно действовать и непосредственно, но можно поступить и немного иначе: доказать, что 0 и 1 являются частичными пределами (тривиально), что разность между соседними членами последовательности стремится к 0 (очевидно) и что если $l$ и $L$ являются частичными пределами последовательности $(x_n)$, для которой $(x_{n+1}-x_n)\to0$, то любое число на отрезке $[l;L]$ также является частичным пределом этой последовательности (собственно, задача).

Допустим существует число $c \in (l; L)$ в чьей $\epsilon$-окресности встречается не более чем конечное число членов последовательности, то есть существует такое $N$, что верно $\{a_n : n \ge N \} \cap O_\epsilon(c) = \emptyset $.

Выделим множества $A = \{ a_n : n \ge N, a_n \le c - \epsilon\}$ и $B = \{ a_n : n \ge N, a_n \ge c + \epsilon\}$ и множество переходных точек $T = \{ a_n \in A : a_{n + 1} \in B \}$. Заметим, что для любых $a \in A$ и $b \in B$ верно $|a - b| \ge 2 \, \epsilon$.

Множество точек $T$ бесконечно (если бы оно было конечно, то существовало бы такое $N_1$ начиная с которого все $a_n$ принадлежали бы или множеству $A$ или множеству $B$, и следовательно $l$ и $L$ не могло бы быть одновременно частичными пределами). А следовательно для любого $N_2$ существует элемент последовательности $a_n \in T$ где $n \ge N_2$, такой что $|a_{n + 1} - a_{n}| > 2 \epsilon$. Противоречие

[Cave]

bubu gaga
Верно, забыли только сказать, что $c\in(l;L)$.
Впрочем, как я уже оговорился, это не решает Вашу первую задачу, там всё же скачки на 1 вниз в последовательности происходят бесконечно много раз. Хотя можно избавиться от модуля в $|a-b|$ и тогда получить нужное доказательство

Верен и более общий факт: если в компактном метрическом пространстве $(X,\rho)$ для последовательности $(x_n)$ элементов пространства верно, что $\rho(x_n,x_{n+1})\to 0$, то множество частичных пределов $(x_n)$ связно.

[bubu gaga]

Cave писал(а):

bubu gaga
это не решает Вашу первую задачу, там всё же скачки на 1 вниз в последовательности происходят бесконечно много раз.

Ну так как первую задачу я сам себе придумал, то почему бы не изменить её условия?
Спасибо всем за помощь и советы!

[ewert]

bubu gaga писал(а):

К каким точкам сходится эта последовательность

$$ 0, 1, \; 0, \frac{1}{2}, 1, \; 0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1 \; \dots$$

.

У меня получается, что для любого числа на отрезке $[0, 1]$ можно выделить подпоследовательности сходящуюся к нему. Спасибо!

Только сейчас прочитал и -- не понял юмора. Выписана вроде как последовательность, содержащая все конечные двоичные дроби. Любое вещественное число является пределом своих конечных двоичных приближений -- фактически просто по определению вещественного числа. Последовательность номеров этих приближений заведемо стремится к бесконечности. Следовательно, по некоторой подпоследовательности эти номера монотонно возрастают. Вот и всё.

[bubu gaga]

ewert писал(а):

Только сейчас прочитал и -- не понял юмора.

Да нет тут никакого юмора. Удивило, что множество частичных пределов последовательности (где "всего-то" счётное количество элементов) может быть мощности континуума.

[Brukvalub]

Перенумеруйте все рац. числа - и множество частичных пределов такой последовательности совпадет с R.

[bubu gaga]

Brukvalub писал(а):

Перенумеруйте все рац. числа - и множество частичных пределов такой последовательности совпадет с R.

Да ну как бы понял я уже, что это не от количества элементов зависит, а от того как плотно они лежат.

[ewert]

bubu gaga писал(а):

Да нет тут никакого юмора. Удивило, что множество частичных пределов последовательности (где "всего-то" счётное количество элементов) может быть мощности континуума.

А-а. А понятие сепарабельности вообще (существования счётных всюду плотных подмножеств) Вас не удивляет?