Хитрое функциональное уравнение

[IvanX]

Функция $f$ удовлетворяет условию $f(x+2xy)=f(x)+2f(xy)$ при всех $x,y$. Известно, что $f(2019)=2020$. Чему равно $f(2020)$?
Подскажите, как решать. Хотя бы маленький намек.

[Vince Diesel]

Если доказать, что функция линейная...

[DeBill]

IvanX
Попробуйте поподставлять в уравнение всякие числа...
Например:
$x=0$;
$y=-1$;
$y=-\frac{1}{2}$.
$x=a, b=2xy$.
Осознайте, что дают полученные равенства.....

[SharkAV]

Или продифференцировать?

[arseniiv]

Дифференцировать можно только если функция гладкая, а вдруг она нет? Не сказано даже о непрерывности (что и не понадобится для ответа на вопрос).

-- Вт мар 03, 2020 23:58:36 --

Да и возня какая-то там выходит непонятная, а вот предложенные подстановки ничего не оставляют для фантазии.

[Утундрий]

Посмотрим на ситуацию под другим градусом. Что, собственно, мешает попробовать? Если получится (а тут получится), то как говорят "там, у ихъ" - Бинго!

[arseniiv]

Да без подстановок вроде ничего не получится, так что почему бы не обойтись сразу ими. И вообще по-моему первый шаг в решении функциональных уравнений — именно получить самые простые факты подстановками, насколько это можно. Раз аж целых две переменных, вообще преступление против разума думать о чём-то другом раньше чем проверишь подстановки. (Но вообще зачем я это пишу?)

[ewert]

Слегка смущает условие $f(2019)=2020$. Потому что из уравнения сразу следует $f(n+1)=f(n)+2f(\frac12)$ и $f(3n)=3f(n)$. Т.е. или $f(n)\equiv0$, или $f(n)=n$.

[arseniiv]

Или $f(x) = kx$ для рациональных $x$.