задача по комбинаторике и теории множеств

[Fizykochemik]

Уважаемые участники,

столкнуся с такой задачей.

На международной олимпиаде встретились 2018 участников.
Организаторы заметили, что:
1) среди любых трёх участников есть двое говорящих на одном языке
2) каждый с участников говорит максимально на пяти языках.
Доказать, что среди участников можно найти группу по крайней мере 203 человек,
которые говорят на одном языке.

Число сочетаний из 2018 по 3:
$C_{2018}^{3}=\frac{2018!}{3!2015!}=1367622816$, только я не уверен что это понадобится. Думаю, надо предположить что участники говорят на 5 языках, т.е. рассмотреть пять множеств и что-то делать с их пересечениями.
Буду признателен за подсказки!

[Connector]

Если бы каждый владел только одним языком, то можно было бы рассуждать просто: возьмём любых трёх участников $a$, $b$ и $c$, из них какие-то два — пусть $a$ и $b$ говорят на одном языке. Затем рассмотрим произвольного третьего участника $d$. Он либо говорит на одном языке с $a$ и $b$, либо на одном языке с $c$. Эту процедуру можно повторять многократно, увеличивая одну из двух групп.
Остаётся преодолеть сложность, связанную с многоязычием участников...

[artempalkin]

Предположим, что есть два участника А и Б, которые не говорят на одном языке. Будем подстраивать им в тройку каждого остального человека. Каждый оставшийся будет говорить на одном языке либо с А, либо с Б, при этом А и Б говорят максимум на 5 языках каждый. В итоге получается, что в худшем случае (А и Б говорят на 5 несовпадающих языках каждый, итого 10 языков), остальные участники говорят каждый на одном из этих 10 языков.

Опять же, в худшем случае эти языки распределены поровну 2016/10=201,6, но так быть не может, значит на одном из языков говорит по крайней мере 202 человека из оставшихся. А если добавить к ним либо А, либо Б, который говорит на этом языке, получится ровно 203.

Предположим далее, что нет таких двух участников А и Б, набор языков которых не совпадает. Значит, уже любая пара людей понимает друг друга. Значит, произвольного человека А поймет каждый из участников, а ведь А владеет в худшем случае 5 языками. Короче, в таком случае, людей, владеющих одним языком, будет намного больше, чем 203 :)