Задача на распределение Пуассона

[GlazkovD]

Решал задачу, не могу найти последний ответ.

При работе прибора в случайные моменты возникают неисправности. Количество неисправностей, возникающих за определенный промежуток времени подчиняется закону Пауссона. Среднее число неисправностей за сутки равно 2. Определить вероятность того, что:
1) За 2е суток не будет ни одной неисправности.
2) В течении суток возникнет хотя бы одна неисправность
3) За неделю работы возникнет не более 3х неисправностей.


----------------------------------Мое решение-----------------------
Распределение пуассона принимает вероятности.

$$p(X=i)=\frac {a ^i e^ {-a}} {i!}$$

Из условия видно, что МАТ ОЖИДАНИЕ равно 2. Т.е a=2
Тогда

$$p(X=i)=\frac {2 ^i e^ {-2}} {i!}$$

1) За двое суток не будет ни одной не исправности

$$p(0)^2=0.018$$

2) В течении суток возникнет хотя бы одна неисправность.

$$1-p(0)=0.865$$

Не знаю как найти третье. Перебирать варианты, типо в первый день один отказ, во второй ноль отказов, в третий 2 отказа в остальные 0 и их суммировать все эти варианты перебора как то не хочется, не можете подсказать, как просто решить 3й пункт ???

Добавлено спустя 24 минуты 22 секунды:

И еще, сорри за оффтоп, что можете порекомендовать из литературы,
класса Данков Попов Кожевникова "Сборник задач по высш. мат
только по Теорверу и Мат статистике.

Что бы было много задач с решениями.

[ddn]

GlazkovD писал(а):

При работе прибора в случайные моменты возникают неисправности. Количество неисправностей, возникающих за определенный промежуток времени подчиняется закону Пауссона. Среднее число неисправностей за сутки равно 2. Определить вероятность того, что:
1) За 2е суток не будет ни одной неисправности.
2) В течении суток возникнет хотя бы одна неисправность
3) За неделю работы возникнет не более 3х неисправностей.


1) За двое суток не будет ни одной не исправности

$$p(0)^2=0.018$$

2) В течении суток возникнет хотя бы одна неисправность.

$$1-p(0)=0.865$$

Не знаю как найти третье. Перебирать варианты, типо в первый день один отказ, во второй ноль отказов, в третий 2 отказа в остальные 0 и их суммировать все эти варианты перебора как то не хочется, не можете подсказать, как просто решить 3й пункт???

Вероятность $i$ числа неисправностей за $k$ суток:
$p^{(k)}(X=i)=\frac{a_k^i}{i!}e^{-a_k}$,
где $a_k=k\cdot a_1$ - среднее число неисправностей за $k$ суток ($a_1=2$)
Поэтому можно и так
1) $a_2=2a_1=4$ и
$p_1=p^{(2)}(X=0)=\frac{4^0}{0!}e^{-4}=e^{-4}=0.018..$;
3) $a_7=7a_1=14$ и
$p_3=p^{(7)}(X=0)+p^{(7)}(X=1)+p^{(7)}(X=2)+p^{(7)}(X=3)=$
$=(\frac{14^0}{0!}+\frac{14^1}{1!}+\frac{14^2}{2!}+\frac{14^3}{3!})e^{-14}=(1+14+98+\frac{1372}{3})e^{-14}=$
$=\frac{1711}{3}e^{-14}=4.74..\cdot10^{-4}$;

[GlazkovD]

Спасибо большое. Понял. С ответом только не сходится (0.004) в ответе, но можно и согрешить на ответ, т.к. логика вашего подхода- очевидна.

[ewert]

GlazkovD писал(а):

3) За неделю работы возникнет не более 3х неисправностей.

. . . . . . . . . . . . . . . .
Не знаю как найти третье. Перебирать варианты, типо в первый день один отказ, во второй ноль отказов, в третий 2 отказа в остальные 0 и их суммировать все эти варианты перебора как то не хочется, не можете подсказать, как просто решить 3й пункт ???

Пуассоновость сохраняется при изменении промежутка наблюдения. Т.е. надо попросту использовать формулу Пуассона со средним количеством отказов 14 в неделю.

GlazkovD писал(а):

что можете порекомендовать из литературы,
класса Данков Попов Кожевникова "Сборник задач по высш. мат
только по Теорверу и Мат статистике.

Что бы было много задач с решениями.

Попробуйте стандартный задачник под редакцией Ефимова и Демидовича, том 3. Там не то чтоб очень много задач, но они разумно подобраны, и есть неплохая теоретическая справка.

[Юстас]

Еще есть Прохоров-Ушаков, там очень много задач разной степени сложности с решениями.