Поведение нулей уравнения с аналитической функцией

[demolishka]

Рассмотрим уравнение относительно $p \in \mathbb{C}$

$$(\lambda + p)^{3} + \rho e^{-\tau p} = 0.$$

Здесь $\lambda,\tau,\rho > 0$ суть некоторые параметры (на $\rho$ дальше будут наложены дополнительные ограничения). Решение уравнения суть собственные числа оператора, порожденного некоторым уравнением с запаздыванием, но это здесь не существенно. Требуется показать, что данное уравнение имеет ровно два простых корня (или возможно один корень кратности два) с $\operatorname{Re}p > -\lambda$. В одной статье предлагается следующее рассуждение. Рассмотрим семейство уравнений при $\varepsilon \in [0,1]$:

$$(\lambda + p)^{3} + \rho e^{-\varepsilon\tau p} = 0.$$

Пусть $\rho>0$ выбрано таким образом, что уравнения выше при любом $\varepsilon \in [0,1]$ не имеют решений с $\operatorname{Re}p=-\lambda$. Это равносильно неравенству $\rho \tau^{3} e^{\lambda \tau} < \delta^{-1}$, где $\delta>0$ таково, что $\inf_{x \in \mathbb{R}} \frac{\sin(x)}{x^{3}} = -\delta$, что в принципе тоже не особо важно для моего вопроса. Легко видеть, что все уравнения имеют конечное число корней в любой полуплоскости $\operatorname{Re}p>\beta$ и они равномерно (по $\varepsilon$) ограничены. Поэтому функция корней, лежащих в полуплоскости $\operatorname{Re}p > - \lambda$, полунепрерывна сверху. Далее - ключевой момент, который меня смущает. Поскольку корни непрерывно зависят от $\varepsilon$ и нет корней с $\operatorname{Re}p=-\lambda$, то уравнение при $\varepsilon=1$ имеет в полуплоскости $\operatorname{Re}p>-\lambda$ столько же корней сколько их при $\varepsilon=0$ (а их, как легко видеть, - два простых).

Собственно смущает меня то, что из непрерывности корней не следует, что их не может появиться новых (и новые необязательно должны перейти через прямую $\operatorname{Re} p = -\lambda$). Например, в семействе $f_{\varepsilon}(p) = p^{3} - \varepsilon( p^{3} - p^{4}) + \rho$ три корня при $\varepsilon = 0$ и четыре корня при $\varepsilon = 1$ (конечно здесь их сразу появляется четыре при любом $\varepsilon>0$). То есть проблемы получаются при возмущении уравнения малой степени функцией большей степени, что как раз и происходит в исходных уравнениях. Можно ли подправить вышеприведенные рассуждения, чтобы доказать утверждение про корни?

[demolishka]

demolishka в сообщении #1441341 писал(а):

Например, в семействе $f_{\varepsilon}(p) = p^{3} - \varepsilon( p^{3} - p^{4}) + \rho$

Тут конечно проблема с непрерывностью корней при $\varepsilon=0$: четвертый корень убегает на бесконечность.

Новых корней действительно не может получиться по теореме Руше: каждый $\varepsilon_{0} \in [0,1]$ имеет маленькую окрестность в которой число корней совпадает для всех $\varepsilon$ из этой окрестности. Но тогда по компактности все уравнения имеют одно и тоже число корней с учетом кратности. И никакой полунепрерывности не нужно.

[B@R5uk]

Не вникал в суть рассуждений, но сразу вижу, что в этом уравнении можно разнести слагаемые налево и направо, вычислить кубический корень и сделать линейную замену. Число параметров в уравнении уменьшится до двух, и само оно станет значительно проще. Более того, я на 98% уверен, что решение можно выразить через W-функцию Ламберта. Кубический корень, конечно, — плохая функция и усложнит анализ, но с явным решением всегда больше возможностей.

[amon]

demolishka в сообщении #1441341 писал(а):

Требуется показать, что данное уравнение имеет ровно два простых корня

IMHO, все что надо - показать, что прямая пересекает экспоненту не более чем в двух точках, что для меня очевидно, но я не математик, а последние умеют находить проблемы в самых неожиданных местах ;)

[demolishka]

Вопрос, если что, закрыт

demolishka в сообщении #1441389 писал(а):

Новых корней действительно не может получиться по теореме Руше: каждый $\varepsilon_{0} \in [0,1]$ имеет маленькую окрестность в которой число корней совпадает для всех $\varepsilon$ из этой окрестности. Но тогда по компактности все уравнения имеют одно и тоже число корней с учетом кратности. И никакой полунепрерывности не нужно.

B@R5uk в сообщении #1441395 писал(а):

Более того, я на 98% уверен, что решение можно выразить через W-функцию Ламберта.

Да, вольфрам что-то такое выдает. Но мне не важно решение. Только количество корней.

[B@R5uk]

amon в сообщении #1441405 писал(а):

IMHO, все что надо - показать, что прямая пересекает экспоненту не более чем в двух точках

Там всё гораздо хуже: решение ищется в поле комплексных чисел, поэтому надо показать, что гиперплоскость в четырёхмерном пространстве пересекает некую четырёхмерную поверхность в двух точках или касается. Ну или что-то типа того.

[amon]

B@R5uk в сообщении #1441409 писал(а):

решение ищется в поле комплексных чисел

Виноват, про комплексные числа пропустил, увидел лишь, что коэффициенты вещественны. Тогда, действительно, надо думать.