Преобразование координат тензора

[Norma]

Если пользоваться таким определением тензора:

$$T: \underbrace{V\times \ldots V}_{p}\times \underbrace{V^{*}\times \ldots \times V^{*}}_{q} $$

то тензорный закон преобразования примет следующий вид:

$$\widetilde{T}^{j_1\ldots j_q}_ {i_1\ldots i_p}=c^{k_1}_{i_1}\ldots c^{k_p}_{i_p}d^{j_1}_{l_1}\ldots d^{j_q}_{l_q}T^{l_1\ldots l_q}_ {k_1\ldots k_p}$$

Если же воспользоваться немного другим определением тензора:

$$T: \underbrace{V^{*}\times \ldots V^{*}}_{p}\times \underbrace{V\times \ldots \times V}_{q} $$

то правильно ли я понимаю, что тензорный закон преобразования будет таким:

$$\widetilde{T}^{i_1\ldots i_p}_{j_1\ldots j_q} =c^{l_1}_{j_1}\ldots c^{l_q}_{j_q}d^{i_1}_{k_1}\ldots d^{i_p}_{k_p}T^{k_1\ldots k_p}_ {l_1\ldots l_q}$$

?

$C$ - матрица перехода, $D=C^{-1}$

[Xaositect]

Да. Видно, что закон преобразования будет в обоих случаях одним и тем же, потому что в Вашей записи с верхними и нижними индексами односительный порядок верхних и нижних индексов не указывается.

Про TeX: тензорное произведение обозначается \otimes: $\otimes$.

[pogulyat_vyshel]

Xaositect в сообщении #1441224 писал(а):

Про TeX: тензорное произведение обозначается \otimes: $\otimes$.

да, только в стартовом посте, судя по всему, речь идет именно о прямом произведении, а не о тензорном. Тензор вводится как полилинейная функция на прямом произведении

[Norma]

И еще такой вопрос: у элементов матрицы сверху обозначают номер строки, а снизу - номер столбца?

[arseniiv]

pogulyat_vyshel в сообщении #1441226 писал(а):

Тензор вводится как полилинейная функция на прямом произведении

Тогда там не дописали ${}\to\mathbb R$ (или другое поле).

Norma в сообщении #1441246 писал(а):

И еще такой вопрос: у элементов матрицы сверху обозначают номер строки, а снизу - номер столбца?

Определённое удобство есть в записывании элемента матрицы $A$ как $A^i{}_j$, где $i$ действительно индекс строки, а $j$ — столбца, но вообще может быть как угодно. Но это только про матрицы операторов, а есть ведь матрицы билинейных/квадратичных форм, где и по строкам, и по столбцам ковариантный индекс. В таком случае первым всё равно чаще выбирают строчный (но не удивлюсь, если кто-то где-то делает наоборот).

Удобство соглашения выше в том, что $(Av)^i = A^i{}_j v^j$ и $(AB)^i{}_j = A^i{}_k B^k{}_j$ (и $(fA)_j = f_i A^i{}_j$), то есть мы можем одновременно писать и строчные индексы перед столбцовыми, и располагать сворачиваемые индексы вплотную друг к другу, и писать индексируемые буквы в том же порядке, в котором обычно пишем их не в индексной записи — сочетаются все три вещи.

-- Пн фев 24, 2020 20:23:23 --

P. S. Ну то есть можно разумеется и просто сверху и снизу $A^i_j$, без упорядочения между ковариантными и контравариантными индексами, но нередко пишут с ним, в этом тоже есть польза.