Математически точные решения уравнений 5 или большей степени

[Slava]

Всем известно, что алгебраические уравнения от одной переменной 5 или большей степени не решаются в радикалах. Для практики достаточно искать приблизительные корни.
У меня вопрос: какие функции надо добавить, чтобы корни уравнения вычислить математически точно?
Например, уравнение $20x^5-16x^3-8x-\sqrt{2-\sqrt{2}}=0$ в радикалах не решается, но имеет математически точный корень: $\sin(\frac{\pi}{40})$.

[Slava]

$\sin(5\alpha)=10\sin^5(\alpha)-8\sin^3(\alpha)-4\sin(\alpha)$.
$\sin(\frac{5\pi}{40})=10\sin^5(\frac{\pi}{40})-8\sin^3(\frac{\pi}{40})-4\sin(\frac{\pi}{40})$.
$\sin(\frac{5\pi}{40})=\sin(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.

[svv]

Меня тоже всегда это интересовало, но я стеснялся спросить. Ну, хорошо, уравнения 5-й степени не решаются в радикалах. Но, может быть, существует регулярный способ выразить решения через синусы и логарифмы?

[worm2]

Конкретно для уравнения 5-й степени есть решение через спецфункции:
https://math.stackexchange.com/questions/540964/how-to-solve-fifth-degree-equations-by-elliptic-functions
Как там дальше, я не знаю.

[svv]

Ужас. Спасибо!

[worm2]

Хотя Вольфрам писал(а):

Klein's method of solving the quintic in terms of hypergeometric functions in one variable can be extended to the sextic, but for higher order polynomials, either hypergeometric functions in several variables or "Siegel functions" must be used (Belardinelli 1960, King 1996, Chow 1999). In the 1880s, Poincaré created functions which give the solution to the nth order polynomial equation in finite form. These functions turned out to be "natural" generalizations of the elliptic functions.

[kotenok gav]

Из Википедии можно вычислить с помощью корней Бринга/эллиптический функций/гипергиометрических функций.

[nnosipov]

В общем случае можно использовать преобразование Меллина и получить решение в виде интеграла (или ряда, не помню).

Вот, случайно натыкал: H.R. Mellin, Resolution de l’equation algebrique generale a l’aide de la fonction gamma, C.R. Acad. Sci., Paris Ser. I Math., 172 (1921), 658-661.

[vpb]

svv в сообщении #1440666 писал(а):

Но, может быть, существует регулярный способ выразить решения через синусы и логарифмы?

Насколько я понимаю, нет. Доказательства, как и для корней, через группы подстановок листов римановой поверхности. Но не уверен, что правильно помню, а ссылки вообще не дам.
Можно, однако, через тэта-функции. См. приложение к книге Мамфорд, Лекции о тэта-функциях.

[svv]

Спасибо. Я под синусами и логарифмами подразумевал любые хорошо изученные функции. Наверное, подойдут и не только элементарные.

[kotenok gav]

Ну, эллиптические функции тоже хорошо изучены.

[novichok2018]

Да, можно, через гипергеометрические функции. Есть просто явная формула для уравнений любой степени, полученная Меллиным лет сто назад. Здесь это обсуждалось, поищите.
Через тета-функции для 5ой степени и других метод не совсем явный, так как требует неизвестного явно обращения одной эллиптической фунцкии. Изложено в книгах Соловьёва по эллиптическим функциям/или полиномах, из доступного. Через гипергеометрию работает всегда, формула Меллина явная, в ней выписываются корни в виде ряда Горна по гамма-функциям. Кажется так.
Ага, нашёл старое обсуждение, посмотрите:
topic48764.html?hilit=%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0%20%D0%9C%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0

[Slava]

Я подозревал, что тригонометрические функции охватывают очень узкий класс уравнений.
Если взять вместо синуса косинус, то эти тождества - многочлены Чебышева:
$\cos(n\alpha)=T_{n}(\cos(\alpha))$.
То есть получается, что только уравнения вида $T_{n}(x)-\cos(n\alpha)=0$ дадут корень $x=\cos(\alpha)$ (при условии, что $\cos(n\alpha)$ известно и что уравнение не имеет решения в радикалах).
С синусами получаются подобные тождества. Интересно, они в литературе встречаются?

[Slava]

Эти многочлены тоже Чебышева. Оказывается есть многочлены Чебышева первого и второго рода. Более того, существует формула кратного угла для тангенса. Значит можно составить уравнение, решением которого будет тангенс.
Вот ссылка: http://mathworld.wolfram.com/Multiple-AngleFormulas.html.
Всем спасибо.
PS. У меня еще там ошибка. Каюсь, формулу сам не выводил. Брал с авторитетного источника. Вот тебе и Интернет.

[B@R5uk]

Когда-то выводил методом научного тыка:

$$\cos \left( nx \right)=\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}{{{\left( -1 \right)}^{k}}\frac{n\left( n-k-1 \right)!{{2}^{n-2k-1}}}{\left( n-2k \right)!k!}{{\cos }^{n-2k}}x}$$

$$\frac{\sin \left( nx \right)}{\sin x}=\sum\limits_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}{{{\left( -1 \right)}^{k}}\frac{\left( n-k-1 \right)!{{2}^{n-2k-1}}}{\left( n-2k-1 \right)!k!}{{\cos }^{n-2k-1}}x}$$