Система уравнений

[Cap]

Здраствуйте! Помогите решить в систему действительных числах

$\left\{\begin{array}{l}a+b+c+d+e=0 \\ a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=20\\ bcde+cdea+deab+eabc+abcd=-15\end{array}\right$

Вот моя попытка решения

$(a+b+c+d+e)^2-a^2-b^2-c^2-d^2-e^2=2(\sum ab)=-20 \Longleftrightarrow=\sum ab=-10$

Пусть $\sum abc=u$, $abcde=v$
и $P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)=x^5-(a+b+c+d+e)x^4+(\sum ab)x^3-(\sum abc)x^2+(bcde+cdea+deab+eabc+abcd)x-v=x^5-10x^3-ux^2-15x-v$.

Тогда по теореме Роля $P'(x)=5x^4-30x^2-2ux-15$ имеет решение в действительных числах
$\Delta_{P'(x)}=-10800 (u^4 - 800 u^2 + 160000)=-10800(u^2-400)^2\geq 0 \Longrightarrow u^2=400$

Подобным образом я определил что $v\geq 4$, если $u=20$ и $v\leq -4$ если $u=-20$, но не смог найти точное значение $v$.

[Cap]

Всё спасибо, уже решил. Если интересно вот решение:
$20=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\geq 5\sqrt[5]{a^2b^2c^2d^2e^2}=\Longrightarrow -32\leq abcde\leq 32$
$20=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\geq a^2+\frac{(b+c+d+e)^2}{4}=\frac{5a^2}{4}\Longrightarrow -4\leq a,b,c,d,e\leq 4$
Если $u=20$
$x^5-10x^3-20x^2-15x-v=0$
Пусть $f(x)=x^5-10x^3-20x^2-15x$, где $x\in[-4;4]$
Исседовав $f(x)$ на интервале $[-4;4]$, мы получаем $v\leq 4$
Но $\Delta_{P(x)} =3125 (v - 4)^3 (v + 252)\geq 0$ и так как $v+252>0$, то $v=4$
$P(x)=x^5-10x^3-20x^2-15x+4=(x-4)(x+1)^4=$0
Аналогично для $u=-20$

[EXE]

Система уравнений со свободными переменными. Надо одни переменные выразить через значения других. У Вас 2-е свободные переменные на выбор. Руками долго, пакет компьютерной алгебры это делает быстро.

[B@R5uk]

Гиперплоскость, гиперсфера и ещё одна гиперкракозябра вида $a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}+d^{-1}+e^{-1}+15\left(abcde\right)^{-1}=0$. Всё в пятимерном пространстве и пересекается.