2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Типа уравнение Маркова
Сообщение16.02.2020, 20:00 


24/12/13
351
Я тут кое-что мутил, и доказал что $k<8$. Но у меня где то точно есть не найденная мной ошибка. Вы не могли бы указать где:
Пусть $N_2=\{1/2, 1, 3/2, 2,...\}$ это множество всех чисел вида $n/2$ где $n$ натуральное число. Заметим что $N\in N_2$ Докажем, что уравнение $$2a^2+b^2+1=kab$$....(1)
не имеет решении в множестве $N_2$ при фиксированным натуральным $k>7$.
В противном случае пусть ( a,b) минимальное решение с наименьшей суммой $a+b$.
1) Пусть $a\ge b$ Тогда
$$2a^2-kba+b^2+1=0$$
Пусть $a,a_1$ корни трехчлена $$f(x)=2x^2-kbx+b^2+1=0$$
Тогда по Виета $a+a_1=kb/2$ и $aa_1=\frac{b^2+1}{2}$. Откуда следует что $a_1\in N_2$. Тогда $(a_1,b)$ тоже решение уравнения (1) и следовательно $a_1\ge a$ Однако
$$f(b)=2(b-a)(b-a_1)\ge 0$$,
Но $f(b)=3b^2-kb^2+1\ge 0$ откуда $1\ge b^2(k-3)\ge 5/4$ противоречие.
2) при $b>a$ аналогично : $g(a)=(a-b)(a-b_1)>0$ откуда $3a^2+1>ka^2>7a^2=3a^2+4a^2\ge 3a^2+1$ противоречие.
Значит при $k>7$ решении в $N_2$ нет, значит и в натуральных тоже нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Типа уравнение Маркова
Сообщение16.02.2020, 21:34 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
rightways в сообщении #1440076 писал(а):
Откуда следует что $a_1\in N_2$.
Вот, например, темное место. Ведь априори и $a$, и $b$ могут оказаться полуцелыми, и тогда на каком основании делается вывод о том, что $a_1$ не более чем полуцелое число?

Еще один вариант поиска ошибки: можно взять, например, $k=9$ и найти эту экстремальную пару $(a,b)$, после чего проследить, в каком месте Вашего рассуждения будут проблемы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Типа уравнение Маркова
Сообщение16.02.2020, 22:20 


24/12/13
351
А да, все понял, $a_1$ может оказаться вида $n/4$
. Спасибо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group