Задача про энергии двухчастичного распада

[Dr Blue]

Как найти полные и кинетические энергии двухчастичного распада $a\to x_1+x_2$ ?

-- 16.02.2020, 13:18 --

Закон сохранения:
$M_a \to M_{x_1} + T_{x_1} + M_{x_2} + T_{x_2}$
Сумма кинетических энергией определяется разностью масс:
$T_{x_1} + T_{x_2} = Q = M_{x_1} + M_{x_2}$
Отношение кинетических энергий:
$\frac{T_{x_1}}{T_{x_2}}=\frac{M_{x_2}}{M_{x_1}}$

Тогда кинетические энергии распада:
$T_{x_1}=\frac{Q\times M_{x_2}}{M_{x_1}+M_{x_2}}$

$T_{x_2}=\frac{Q\times M_{x_1}}{M_{x_1}+M_{x_2}}$

[svv]

Очевидно, частица $a$ полагается неподвижной.

Dr Blue в сообщении #1439995 писал(а):

Закон сохранения:
$M_a \to M_{x_1} + T_{x_1} + M_{x_2} + T_{x_2}$

Тут лучше написать знак равенства.

Dr Blue в сообщении #1439995 писал(а):

Сумма кинетических энергией определяется разностью масс:
$T_{x_1} + T_{x_2} = Q = M_{x_1} + M_{x_2}$

Да, разностью, но формула не соответствует сказанному.

Dr Blue в сообщении #1439995 писал(а):

Отношение кинетических энергий:
$\frac{T_{x_1}}{T_{x_2}}=\frac{M_{x_2}}{M_{x_1}}$

Правильно. А Вы знаете, откуда такое требование?

svv в сообщении #1439998 писал(а):

Тогда кинетические энергии распада:
$T_{x_1}=\frac{Q\times M_{x_2}}{M_{x_1}+M_{x_2}}$
$T_{x_2}=\frac{Q\times M_{x_1}}{M_{x_1}+M_{x_2}}$

Явный знак умножения, да ещё такой $\times$, ставится только в очень специальных случаях (векторное произведение векторов, декартово произведение множеств). Тут произведение лучше обозначить простой постановкой двух множителей рядом (юкстапозицией): $QM_{x_1}$.

А что там насчёт полных энергий?

Вы не пробовали решить задачу в релятивистском варианте? Окончательные формулы получаются не сложнее, а то и проще. Да и скорости продуктов могут быть значительными.

[Pphantom]

Название темы изменено на более содержательное.

[Dr Blue]

svv в сообщении #1439998 писал(а):

Вы не пробовали решить задачу в релятивистском варианте? Окончательные формулы получаются не сложнее, а то и проще. Да и скорости продуктов могут быть значительными.

$E$ - полная энергия системы
$\vec{p_a }= 0$ - суммарный импульс
$E_{in}=m_a$
Система покоя
$E_{in}=E_{out}$

$E_{out}=\sum\limits_{i}E_i=\sum\limits_{i}(m_i+T_i)=\sum\limits_{i}m_i+\sum\limits_{i}T_i$

$m_a=\sum\limits_{i}m_i+\sum\limits_{i}T_i$

$m_a-\sum\limits_{i}m_i=\sum\limits_{i}T_i=Q$

$a \to x_1+x_2+...+Q$, где $Q$ - энергия распада $(Q>0)$
$=>m_a>\sum\limits_{i}m_i$

-- 16.02.2020, 18:52 --

Хотя..сделал тоже самое абсолютно. Не понимаю(

[svv]

При полностью релятивистском рассмотрении Вы получите ту же суммарную кинетическую энергию $T_1+T_2$, потому что она равна просто дефекту массы: $m_a-m_1-m_2$. Что изменится — распределение этой энергии по продуктам распада.

Я Вас спрашивал, откуда получается отношение кинетических энергий, сам же и отвечу: из 1) равенства импульсов $p_1$ и $p_2$ по абсолютной величине и 2) из связи между кинетической энергией и импульсом: $p^2=2mT$.

В СТО равенство импульсов по модулю, естественно, остаётся: $p_1^2=p_2^2$, но меняется соотношение между энергией (удобнее брать полную) и импульсом:
$m_1^2+p_1^2=E_1^2$
$m_2^2+p_2^2=E_2^2$
Вычитая, получим
$m_1^2-m_2^2=E_1^2-E_2^2=(E_1+E_2)(E_1-E_2)$
Но $E_1+E_2=E_a=m_a$ в силу закона сохранения энергии. Получаем систему уравнений:
$\begin{cases}E_1+E_2=m_a\\m_a(E_1-E_2)=m_1^2-m_2^2\end{cases}$
Из неё можно найти $E_i$, а затем $T_i=E_i-m_i$ для каждой из образовавшихся частиц.