Сюръекция (еще раз)

[vadimm]

Я перестаю понимать. Запутался во множестве информации. Авторы дают разные определения и в итоге у меня возникает отсутствие одной из форм полного тумана.

Вот пример. Здесь автор рассказывает про сюръективное отображения и приводит наглядный пример: https://www.youtube.com/watch?v=5zO7yZd3Cd0.

Но что я вижу? В примере одному элементу из $X$ соответствует два элемента $Y$. Какое же это сюръективное отображение?

Для себя я ясно усвоил, что отображение -- это правило, которое сопоставляет каждому элементу $X$ однозначно определяемый (или один и только один) элемент $Y$.

Что я не так понимаю?

[Mikhail_K]

vadimm в сообщении #1440018 писал(а):

Для себя я ясно усвоил, что отображение -- это правило, которое сопоставляет каждому элементу $X$ однозначно определяемый (или один и только один) элемент $Y$.

Верно усвоили. Правда, есть ещё многозначные отображения, для которых это не так. Они не являются отображениями в обычном смысле. Многозначные отображения мало где нужны и про них вообще необязательно знать. В примере на видео показывается именно многозначное отображение, о чём автор вскользь упоминает.

У Вас есть полное право считать, что на этом примере - не сюръекция и вообще не отображение.

vadimm в сообщении #1440018 писал(а):

Запутался во множестве информации. Авторы дают разные определения

В математике такая ситуация встречается. Когда в разных учебниках даются разные и неэквивалентные определения. И то, что, например, согласно одному учебнику является гильбертовым пространством, согласно другому не является им.

То есть, читая разные учебники, нужно обращать внимание на определения и быть морально готовым к такой проблеме. Впрочем, она не очень частая, поэтому польза от изучения теории по нескольким разным учебникам обычно превышает вред, а порой и намного.

Но вот всякие "разъясняющие видео" смотреть не рекомендую, во всяком случае без должного критицизма. Лучше читайте!

[iifat]

Mikhail_K в сообщении #1440020 писал(а):

в разных учебниках даются разные и неэквивалентные определения

Абсолютно верно, но применительно к данной теме альтернатив не встречал. Вроде как везде отображение и сюръекция определены одинаково, а товарищ из ролика несёт в этом месте какую-то пургу.

Mikhail_K в сообщении #1440020 писал(а):

Лучше читайте!

Присоединяюсь, хотя досадные опечатки в учебниках тоже, увы, встречаются. Правда, обсуждаемый ляп, как по мне, слишком серьёзен для опечатки.

[vadimm]

Спасибо!

Еще есть такой вопрос. Между равномощными множествами могут быть только либо биекции, либо не инъекции и не сюръкции? Например, пусть $X = \{a, b\}$ и $Y = \{c, d\}$. Тогда между этими множествами невозможно существование отображения которое инъективно, но не сюръективно.

[Xaositect]

Между конечными равномощными множествами - да, инъективность эквивалентна сюрьективности.
А на бесконечных множествах все по-другому, отображение $f \colon \mathbb N \to \mathbb N$, $f(x) = x + 1$ инъективно, но не сюрьективно.

[demolishka]

Mikhail_K в сообщении #1440020 писал(а):

Многозначные отображения мало где нужны и про них вообще необязательно знать.

А как же ТФКП? Диффуры с разрывной правой частью? Или самое простое - функция корней многочлена?

[vadimm]

Mikhail_K в сообщении #1440020 писал(а):

Лучше читайте

Что можете предложить, где тема изложена весьма подробно и понятно для начинающих?

[Padawan]

demolishka в сообщении #1440038 писал(а):

Mikhail_K в сообщении #1440020 писал(а):

Многозначные отображения мало где нужны и про них вообще необязательно знать.

А как же ТФКП? Диффуры с разрывной правой частью? Или самое простое - функция корней многочлена?

А ещё имею добавить, что многозначное отображение можно рассматривать как однозначное отображение в множество всех подмножеств.

-- Вс фев 16, 2020 19:56:59 --

И есть функтор из категории множеств и функций в категорию множеств и многозначных отображений

[Munin]

vadimm в сообщении #1440018 писал(а):

Вот пример. Здесь автор рассказывает про сюръективное отображения и приводит наглядный пример: https://www.youtube.com/watch?v=5zO7yZd3Cd0 .

Но что я вижу? В примере одному элементу из $X$ соответствует два элемента $Y$. Какое же это сюръективное отображение?

Автор видео откровенно бредит. (После того, как привёл правильные определения, до момента 1:05.)

Вы можете доказать следующий простой факт: если $X\xrightarrow{f}Y$ - сюръективное отображение, и множества $X,Y$ конечны, то
мощность множества $X$ не меньше (то есть, больше или равна) мощности множества $Y$:

$$|X|\geqslant|Y|.$$

[arseniiv]

Побуду незванным кэпом. Во-первых можно говорить о сюръективных отношениях (и двойственным понятием будет тотальность отношения — то что для всех $x\in\operatorname{dom} R$ найдётся $y$ такой, что $x \mathrel R y$). И во-вторых — о (двойственных к инъективным) функциональных отношениях ($x \mathrel R y\wedge x \mathrel R y'\Rightarrow y = y'$). Тогда сюръекция — это функциональное, тотальное и сюръективное отношение (при удачно подобранных определениях отношения и функции).) Про свойства отношений знать полезно всегда, даже если их композиция и пишется наоборот по отношению к композиции функций.

-- Пн фев 17, 2020 01:01:29 --

demolishka в сообщении #1440038 писал(а):

А как же ТФКП?

А там кстати, насколько я понимаю, римановы поверхности дают куда больше пользы, чем понимание многозначной функции по-простому. С такими функциями многого нужного анализу вроде не сваришь, на них наложено недостаточно ограничений.