Решение загадки ВТФ:ядерные числа,треугольники BGA

[PhisicBGA]

В качестве эпиграфа:
"Степень числа a с показателем n - это произведение n-ого числа множителей,каждый из которых равен числу a.
В целом можно сказать,что степень - это удобная форма записи большого количества равных множителей."

Решение загадки Великой теоремы Ферма не менее удивительно,чем само её существование.Напомню,что открытое Пьером Ферма новое необычное свойство целых степеней натуральных чисел требовало доказательства,поскольку Ферма только описал это свойство и привёл доказательство лишь для ограниченного множества степеней с показателем кратным 4-м. Так почему же - теорема,а не гипотеза? Дело,по видимому,в том,что в этом доказательстве частного случая Ферма так убедительно показал,что это свойство степеней вытекает из свойств самих натуральных чисел,что никто не сомневался - и для остальных степеней это свойство так же является производным от какого-либо свойства самих натуральных чисел.Например,того же свойства ограниченности снизу или свойства единственности разложения на простые множители.Ведь степени,как считается, - это просто частный случай составных натуральных чисел,а они,как известно,симметричны относительно четности.
Поэтому путь к общему доказательству казался понятным и не долгим.И эта уверенность сыграла с математиками злую шутку:прошли века,а полного доказательства,назвавшего бы причину существования этого свойства у степеней,так и нет до сих пор.
Что же не так?В чём ошибка? Когда в очередной раз рушится доказательство Великой теоремы Ферма основанное на,казалось бы,незыблемом тезисе:открытое Ферма свойство степеней является производным от какого-то свойства натуральных чисел,происходит автоматически доказательство другого тезиса,который и заложен в ВТФ: это свойство присуще только степеням и определяется только их истинной сущностью. И надо признать,что это доказательство, выдержавшее проверку веков,получилось более чем убедительным. Исключение же из этого правила для степеней кратных 4-м следует из другого удивительного свойства степеней: нарушения симметрии по четности.Причём,оно наблюдается не только в степенях с четными и нечетными показателями и основаниями,но и в степенях с нечётными основаниями,имеющими чётную и нечётную основу:2(2n)+1 и 2(2n+1)+1.Эта особенность была затронута в моей теме:"Реальное разложение кубов....". Она так же имеет глубинную основу,определяемую только истинной сущностью степеней.
Так что же даёт нам проверенное веками доказательство уникальности открытого Пером Ферма свойства степеней? Как известно,степени натуральных чисел являются частным случаем составных натуральных чисел,некоторым их подмножеством.В это подмножество входят составные натуральные числа у которых количество всех простых множителей в составе числа одинаково.Очевидно,что степени обладают всеми свойствами натуральных чисел,а вот обратное утверждение оказывается не верным,благодаря открытию Ферма:степени,оказывается,имеют ещё и свои,присущие только им,важные свойства.Этот факт меняет всё дело.Думаю,что физики,которые "диалектику учили не по Гегелю"в 20-ом веке,меня поймут:здесь мы имеем дело с удивительным проявлением одного из основных законов диалектики - перехода количества в новое качество.Когда количество всех простых множителей входящих в состав числа становится равным,происходит качественный скачок-появляется полноценный новый вид натуральных чисел,со своими свойствами и особенностями.
Какая же особенность появляется у степеней,как у нового вида натуральных чисел?Появление регулярности и однотипности в "белом шуме"простых множителей в составе натуральных чисел наводит на мысль,что у таких чисел т.е.у степеней,появляется упорядоченная внутренняя структура.Поиск подтверждения этой догадки приводит к известному методу квадратичного разложения степеней по любому целому числу $a$ -

$$x^n=(x-a)x^n^-^2(x+a)+a^2x^n^-^2$$

Самый простой и удобный для анализа вид - разложение по $a=1$.В этом случае имеем

$$\begin{cases}x^2=(x-1)(x+1)+1 \\x^4=(x^2)^2=(x^2-1)(x^2+1)+1\\x^8=(x^4)^2=(x^4-1)(x^4+1)+1\end{cases}$$

,

$$\begin{cases}x^3=(x-1)x(x+1)+x \\x^5=(x-1)x^3(x+1)+(x-1)x(x+1)+x\\x^7=(x-1)x^5(x+1)+(x-1)x^3(x+1)+(x-1)x(x+1)+x\end{cases}$$

,

$$\begin{cases}x^6=(x^2)^3=(x^2-1)x^2(x^2+1)+(x-1)(x+1)+1 \\x^1^0=(x^2)^5=(x^2-1)(x^2)^3(x^2+1)+(x^2-1)(x^2)(x^2+1)+(x-1)(x+1)+1\end{cases}$$

Уже такое грубое разложение даёт предварительное подтверждение наличию внутренней структуры у степеней.Причём,архитектура этой структуры удивительным образом напоминает Резерфордовскую модель атома:один или несколько "массивных" членов,где сосредоточена почти вся "математическая масса",которые можно назвать ядрами,и лёгкая единица - для чётных показателей или основание степени - для нечётных.Думаю,что это не случайно:степени,как новый вид натуральных чисел,являются удивительным подтверждением знаменитых слов великого философа-математика Пифагора:"Всё сущее в мире есть число".Это означает,что всё сложное устройство нашего мира находит своё отражение в числе.Поэтому, вполне логично назвать новый вид натуральных чисел,которым являются целые степени натуральных чисел - ядерными числами или более консервативно - структурными числами.
Но окончательную точку в вопросе о внутренней структуре степеней ставит расшифровка структуры ядер в их разложении, выполненная с помощью числовых треугольников BGA.С учётом этой расшифровки внутренняя структура степеней выглядит следующим образом:

$$x^2=2\begin{cases}1\\1+1\\1+1+1\\-----\\--------\\1+1+1+1+...+1 (\sum( x-1))\end{cases}+x $$

;

$$x^3=6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\-----\\--------\\1+2+3+4+...+(x-1) \end{cases}+x $$

;

$$x^4=12\begin{cases}1\\1+2^2\\1+2^2+3^2\\-----\\--------\\1+2^2+3^2+4^2+...+(x-1)^2 \end{cases}+x^2 $$

;

$$x^5=20\begin{cases}1\\1+2^3\\1+2^3+3^3\\-----\\--------\\1+2^3+3^3+4^3+...+(x-1)^3 \end{cases}+10\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\-----\\--------\\1+2+3+4+...+(x-1) \end{cases}+x $$

;

$$x^7=42\begin{cases}1\\1+2^5\\1+2^5+3^5\\-----\\--------\\1+2^5+3^5+4^5+...+(x-1)^5 \end{cases}+70\begin{cases}1\\1+2^3\\1+2^3+3^3\\-----\\--------\\1+2^3+3^3+4^3+...+(x-1)^3 \end{cases}+$$

$$+14\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\-----\\--------\\1+2+3+4+...+(x-1) \end{cases}+x $$

Не приходится удивляться теперь,что при такой сложной,строго упорядоченной и регулярной структуре у степеней появляются уникальные свойства,которые и выделяют их в новый тип натуральных чисел. Следовательно, существует не два,а три основных типа натуральных чисел:простые,составные и структурные.Вот о чём пыталась нам рассказать Великая теорема Ферма на протяжении нескольких веков.

[PhisicBGA]

Таким образом,степени натуральных чисел являются новым видом натуральных чисел,более высокой ступенью их организации.И если простые и составные натуральные числа отражают окружающий нас макромир,то степени,как структурные числа,отражают особенности микромира:его структуру и,возможно,свойства.Без осознания этого невозможно разгадать загадку Великой теоремы Ферма и найти полное : необходимое и достаточное, её доказательство.
Основным элементом степеней,как структурных чисел,являются числовые треугольники BGA.Это своеобразные тензоры,но не следует увлекаться формализмом,по скольку, в их числовой структуре заложены интересные закономерности,которые,в конечном счёте,и определяют свойство степеней открытое Ферма.Помните постоянную BGA для кубов нечётных чисел?Так это - от сюда,из особенностей структуры треугольника BGA для кубов.
Выражаясь более консервативно можно сказать,что внутренняя структура степеней есть разложение их по числовым треугольникам BGA.

$x^2=2\begin{cases}1\\1+1\\1+1+1\\-----\\--------\\1+1+1+1+...+1 (\sum=( x-1))\end{cases}+x $

$x^4=12\begin{cases}1\\1+2^2\\1+2^2+3^2\\-----\\--------\\1+2^2+3^2+4^2+...+(x-1)^2 \end{cases}+x^2 =\displaystyle 2\binom{2}{4}BGA(S_2)+x^2$



$x^3=6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\-----\\--------\\1+2+3+4+...+(x-1)\end{cases}+x= \displaystyle2\binom{1}{3}BGA(S_1)+x$

$x^5=20\begin{cases}1\\1+2^3\\1+2^3+3^3\\-----\\--------\\1+2^3+3^3+4^3+...+(x-1)^3 \end{cases}+10\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\-----\\----------\\1+2+3+4+...+(x-1)\end{cases}+$

$$+x =\displaystyle 2\binom{3}{5}BGA(S_3)+\displaystyle 2\binom{1}{5}BGA(S_1)+x$$

$x^7=42\begin{cases}1\\1+2^5\\1+2^5+3^5\\-----\\--------\\1+2^5+3^5+4^5+...+(x-1)^5 \end{cases}+70\begin{cases}1\\1+2^3\\1+2^3+3^3\\-----\\--------\\1+2^3+3^3+4^3+...+(x-1)^3 \end{cases}+14\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\-----\\----------\\1+2+3+4+...+(x-1)\end{cases} +x =$

$$=\displaystyle 2\binom{5}{7}BGA(S_5)+\displaystyle 2\binom{3}{7}BGA(S_3)+\displaystyle 2\binom{1}{7}BGA(S_1)+x$$

$$x^2^n^+^1=\displaystyle 2\binom{2n-1}{2n+1}BGA(S_2_n_-_1)+\displaystyle 2\binom{2n-3}{2n+1}BGA(S_2_n_-_3)+.+\displaystyle 2\binom{2n-(2k+1)}{2n+1}BGA(S_2_n_-_(_2_k_+_1_))+.+x$$

Расшифровка внутренней структуры степеней даёт прямое доказательство Малой теоремы Ферма.Можно видеть,что коэффициенты в разложении по числовым треугольникам BGA степеней с простыми показателями соответствуют удвоенным биномиальным коэффициентам для этой степени,которые,как известно,пропорциональны в этом случае показателю степени.
Можно так же посмотреть где нарушается это правило для степеней с составными показателями.Так для степени с показателем $n=9$ имеем

$$x^9 - x=\displaystyle 2\binom{7}{9}BGA(S_7)+\displaystyle 2\binom{5}{9}BGA(S_5)+\displaystyle 2\binom{3}{9}BGA(S_3)+\displaystyle 2\binom{1}{9}BGA(S_1)$$

В этом случае имеем следующие коэффициенты

$$2(36)+2(126)+2(84)+2(9)$$

Видно,что нарушение имеет место в третьем коэффициенте.
Думаю,что доказательство Великой теоремы Ферма так же приятно удивит исследователей ,когда они докапаються до него,изучая особенности структурных чисел.

[PhisicBGA]

nnosipov писал(а):

Малая теорема Ферма сама по себе мистика.

$$x^3 - x=\displaystyle 2\binom{1}{3}BGA(S_1)$$

$$x^5 - x=\displaystyle 2\binom{3}{5}BGA(S_3)+\displaystyle 2\binom{1}{3}BGA(S_1)$$

$$x^7 - x=\displaystyle 2\binom{5}{7}BGA(S_5)+\displaystyle 2\binom{3}{7}BGA(S_3)+\displaystyle 2\binom{1}{7}BGA(S_1)$$

...и т. д. для всех степеней натуральных чисел с простыми показателями...и никакой мистики.

"Господь Бог хитёр, но не злономерен"
......................................А.Эйншейн.

[Lia]

PhisicBGA
Что это было?

[PhisicBGA]

Lia писал(а):

Что это было?

Прошу извинить за неуклюжую попытку объяснить,что Малая теорема Ферма непосредственно вытекает из внутренней структуры степеней натуральных чисел,и это,конечно же,снимает с неё налет всякой мистики.
А знаменитые слова Эйнштейна дают уверенность,что природа - познаваема, и даже самые сложные её загадки можно , в коечном счёте,разгадать.

[Утундрий]

PhisicBGA в сообщении #1437453 писал(а):

знаменитые слова Эйнштейна дают уверенность,что природа - познаваема, и даже самые сложные её загадки можно , в коечном счёте,разгадать.

Как мало вам нужно для уверенности...

[Lia]

PhisicBGA
Если в следующем посте продолжится эпиграф, я закрою тему в связи с несоответствием разделу.

[binki]

PhisicBGA в сообщении #1436038 писал(а):

Следовательно, существует не два,а три основных типа натуральных чисел:простые,составные и структурные.

Уважаемый PhisicBGA
Не понятно, какими же существенными свойствами отличаются треугольные структуры степеней от их исторической структуры $x^n=xxxx..x$

[PhisicBGA]

binki писал(а):

Не понятно, какими же существенными свойствами отличаются треугольные структуры степеней от их исторической структуры $x^n=xxxx..x$

Давайте разберёмся.
1.Степень-просто подмножество во множестве составных чисел:$x^n=xxxx..x$.
2.Степень-новый вид натуральных чисел:структурные числа-

$$x^n=\sum_{k=1}^{n-2k}\displaystyle 2\binom{n-2k}{n}\begin{cases}1\\1+2^{n-2k}\\1+2^{n-2k}+3^{n-2k}\\-----\\--------\\1+2^{n-2k}+3^{n-2k}+4^{n-2k}+...+(x-1)^{n-2k}\end{cases}+x = $$

$$=\sum_{k=1}^{n-2k}\displaystyle 2\binom{n-2k}{n}BGA(S_{n-2k})+x$$

В первом случае - сразу же вопрос:почему только у степеней есть формула-знаменитый бином Ньютона,которая позволяет получать распределение любой степени на числовой оси,а у основного множества распределение обычное-равномерное с обычной единицей?
Во втором случае ответ на этот вопрос очевиден:раз это новый вид чисел,то и распределение их на числовой оси будет другим:согласно той базовой единице которую имеет данная степень.Базовая единица,а ,точнее,базовая функция,поскольку структурное число-более высокая ступень организации натуральных чисел,есть у каждой степени.Я назвал их Базонами Ферма - $\delta\Phi_x^n$,поскольку они наполняют степени "математической массой",определяют её структуру.
Так для куба Базон Ферма равен $\delta\Phi_x^3=3x(x+1)+1$.Отсюда структура куба имеет следующий вид

$$x^3=6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\-----\\--------\\1+2+3+4+...+(x-1)\end{cases}+x$$

Так что, по структуре степени можно определить её единичную функцию - Базон Ферма.

Далее..В первом случае - доказательств Малой теоремы Ферма действительно много.Все они опираются на различные свойства и соотношения как чисел,так и геометрических фигур.Сами степени играют в них весьма скромную роль-роль свадебного генерала.Ведь они же всего лишь подмножество,значит это свойство связано со всеми натуральными числами,но как?Отсюда - и мистика.Вообщем,ошибка та же,что и в случае с Великой теоремой Ферма.
Во втором случае-Золушка становится принцессой:мы моментально получаем доказательство Малой теоремы Ферма из структуры самих степеней.Причём видно,что это свойство их ядер.Действительно,разность $x^n-x$ даёт нам "массивную" часть структурного числа-его ядро,которое в общем случае состоит из суммы треугольников BGA c весовыми коэффициентами,которые совпадают с удвоенными биномиальными коэффициентами для данной степени.
От сюда сразу же следует справедливость Малой теоремы Ферма,по скольку,хорошо известно,что в случае простого показателя степени,биномиальные коэффициенты в её разложении пропорциональны этому показателю.
А вот обнаружить свойство степеней, о котором говорится в Великой теореме Ферма, с помощью их структуры значительно сложнее:это уже свойство самих структурных чисел и здесь "начинают работать",как особенности самой структуры числа,так и особенности его ядер т.е. числовых треугольников BGA.

[binki]

PhisicBGA в сообщении #1438669 писал(а):

мы моментально получаем доказательство Малой теоремы Ферма из структуры самих степеней.

МТФ: $(1+1)^p-(1+1);\quad (2+1)^p-(2+1)$ и т.д. Вот и все докво. Структуры, построенные через вторые разности степеней, возможно где то сыграют роль. Но для МТФ бином лаконичней.

[PhisicBGA]

binki писал(а):

Но для МТФ бином лаконичней.

Дело вкуса...

[PhisicBGA]

Смещение акцентов,отказ от тупиковых математических подходов и переход к традиционной в физике методике решения проблем - всё это было сделано,конечно,не для доказательства Малой теоремы Ферма.В физике есть замечательное правило:каждая новая теория должна объяснить не только новые факты,но и хорошо известные старые.Доказательство Малой теоремы Ферма подтверждает,что новый подход к решению загадки Великой теоремы Ферма - работает.
Теперь - относительно новизны.
В случае традиционного понимания степеней,как структуры $x^n=xxxx..x$,получается,что они симметричны относительно чётности как показателя степени,так и её основания.Другими словами,сама структура степени и все соотношения связанные с ними остаются неизменными или однотипными,как в случае с биномом Ньютона,при замене в её показателе или основании четного натурального числа на нечётное и наоборот.
В случае понимания степеней,как нового вида натуральных чисел - структурных чисел,оказывается,что это не так.При более глубоком рассмотрении,оказывается,что принцип симметричности относительно чётности у структурных чисел нарушается.Если внимательно посмотреть на приведённую выше общую запись для степеней,как структурных чисел,то можно увидеть,что она не верна для всех четных степеней.Для них имеет место другое выражение

$$x^2^n=\sum_{k=1}^{n-2k}\displaystyle 2\binom{n-2k}{n}\begin{cases}1\\1+2^{n-2k}\\1+2^{n-2k}+3^{n-2k}\\-----\\--------\\1+2^{n-2k}+3^{n-2k}+4^{n-2k}+...+(x-1)^{n-2k}\end{cases}+x^2 $$

где

$$x^2=2\begin{cases}1\\1+1\\1+1+1\\-----\\--------\\1+1+1+1+...+1 (\sum=( x-1))\end{cases}+x $$

Например

$$x^6=30BGA(S_4)+30BGA(S_2)+x^2$$

но

$$x^5 =20BGA(S_3)+10BGA(S_1)+x$$

Разница - в последнем члене.
И если у степеней с показателем кратным 2-ум эту особенность можно устранить поменяв приоритет при разложении : $x^2^{(2n+1)}=(x^2)^{2n+1}$ ,то для степеней с показателем кратным 4-м такая процедура ничего не даёт.
Особенно наглядно свойство нарушения симметрии по чётности проявляется у кубов.Пусть,например,имеем два соседних куба $7^3$ и $8^3$.Для них разложение по треугольникам BGA будет

$$7^3=6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\1+2+3+4\\1+2+3+4+5\\1+2+3+4+5+6 \end{cases}+7 $$

$$8^3=6\begin{cases}1\\1+2\\1+2+3\\1+2+3+4\\1+2+3+4+5\\1+2+3+4+5+6 \\1+2+3+4+5+6+7 \end{cases}+8 $$

Вроде бы всё симметрично и однотипно.Но стоит нам "свернуть" треугольники по квадратам,как сразу же получаем различные структуры

$$7^3=6(2^2+4^2+6^2)+7=6(4)(1+2^2+3^2)+7$$

$$8^3=6(1+3^2+5^2+7^2)+8$$

Если углубится в анализ числовых треугольников чётных и не чётных кубов,то можно обнаружить интересные
различия:
1.Любой из числовых треугольников не чётных кубов можно одной прямой разделить на две равные части,а затем,левую из этих частей,так же одной прямой разделить на две равные части.У числовых треугольников чётных кубов этого сделать нельзя.
2. Любой из числовых треугольников не чётных кубов состоит из четырёх равных частей.У числовых треугольников чётных кубов такой особенностью обладают только треугольники кубов с основанием кратным восьми.
3.Любой из числовых треугольников не чётных кубов может быть легко превращён в числовой прямоугольник или числовой ромб.С числовыми треугольниками чётных кубов это сделать нельзя.
Ну и много ещё чего интересного.
Наконец,нарушение симметрии по чётности проявляется даже у кубов с нечётными основаниями,имеющими чётную и не чётную основу: $2(2n)+1$ и $2(2n+1)+1$.Это обнаруживается при их реальном разложении.

Таким образом,свойство нарушения симметрии по чётности,присущее структурным числам т.е степеням ,является "квантовым"эффектом,который вряд ли можно обнаружить при классическом понимании степени.

[PhisicBGA]

Классическая структура степеней является первым приближением,которое отражает тот факт ,что они являются частью натуральных чисел и обладают всеми их свойствами.Открытие их треугольных структур - открывает перед нами дорогу к их "квантовым"глубинам.Приходится только удивляться,что первое "квантовое"свойство степеней:невозможность разложить степень с показателем выше двух на две такие же степени,было обнаружено почти пять веков назад.Теперь становится ясно,что полностью доказать его существование классическими методами просто невозможно,поскольку это свойство из другого измерения.И надо отдать должное гениальности великого учёного Пьера Ферма,который не только обнаружил это свойство,но и нашёл точку его соприкосновения с классическими свойствами натуральных чисел.

[binki]

PhisicBGA в сообщении #1439967 писал(а):

Открытие их треугольных структур - открывает перед нами дорогу к их "квантовым"глубинам.

Здесь математика , а не физика. Сама квантовая теория является противоречивой гипотезой. А гипотезы не являются аргументами для доказательства теоремы. Математика - она математика.

[PhisicBGA]

PhisicBGA писал(а):

Открытие их треугольных структур - открывает перед нами дорогу к их "квантовым"глубинам

В данном случае имеется в виду уровень рассмотрения объекта или проблемы:"классический"- макро-уровень,
"квантовый"- микро-уровень.

binki писал(а):

Сама квантовая теория является противоречивой гипотезой. А гипотезы не являются аргументами для доказательства теоремы.

А почему Вы решили,что я хочу доказать ВТФ с помощью квантовой теории?Не волнуйтесь,ВТФ доказывается с помощью вполне нормальных математических тождеств.Только вот отыскать их при классическом понимании степени невозможно.Неужели Вы этого ещё не поняли?

binki писал(а):

Здесь математика , а не физика.

А как же быть с нарушением симметрии по чётности у степеней?Ведь эффект не сохранения чётности в слабом взаимодействии - это из физики высоких энергий.А тут вдруг оказывается,что подобное - является свойством структурных чисел т.е. степеней.А их то трудно заподозрить в том,что они являются физическими объектами.Как быть?