Доказать неравенство (индукция)

[kel]

Доказать неравенство

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2n-1}{2n} \leq \frac{1}{\sqrt{3n+1}}$

[bot]

Индукция

[kel]

при $n=k+1$ как раз и не получается доказать

[bot]

А чего там могло не получиться? Выкладываете - укажем ошибку.

Добавлено спустя 2 минуты 49 секунд:

Кстати, удобнее здесь переходить не от $n$ к $n+1$, а от $n-1$ к $n$.
А мусорную букву k лучше и не употреблять.

[kel]

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2(k+1)-1}{2(k+1)} - \frac{1}{\sqrt{3(k+1)+1}}$ и что дальще делать. Известно,что первое слагаемое отрицательное. Сума отрицательный чисел отрицательная. Этого разве достаточно для доказания неравенства?

Добавлено спустя 1 минуту 59 секунд:

на счет буквы $k$ - больше не буду

[PAV]

А где использовано предположение индукции?

[bot]

Похоже, Вам для начала почитать надо. Вот к примеру:
http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/074/309.htm

[kel]

прочитала

Добавлено спустя 4 минут 34 секунды:


$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2(k+1)-1}{2(k+1)} - \frac{1}{\sqrt{3(k+1)+1}} \leq \frac{1}{\sqrt{3k+1}} \cdot \frac{2(k+1)-1}{2(k+1)} - \frac{1}{\sqrt{3(k+1)+1}}$


вот на этом моменте я не знаю, что дальше. Подскажите пожалуйста!

Возможно использовать то, что $\frac{2(k+1)-1}{2(k+1)} \leq 1$ для любого натурального $k$

[bot]

kel в сообщении #144173 писал(а):

вот на этом моменте я не знаю, что дальше. Подскажите пожалуйста!

Вот зачем было переносить всё в одну часть?
Впрочем не в этом суть. Сейчас пора вспомнить, что требовалось доказать из предположения индукции, и не свелось ли требуемое к другому неравенству?

[PAV]

Вместо того, чтобы вычитать одно из другого и сравнивать с нулем, попробуйте разделить одно на другое и сравнить с 1.

[kel]

для $n=k+1$ разделила левую часть неравенства на правую.


$\frac{1}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2(k+1)-1}{2(k+1)} \cdot \sqrt{3(k+1)+1} \leq \frac{\sqrt{3(k+1)+1}}{\sqrt{3k+1}} \cdot \frac{2k-1}{2k}$


Как же тогда сравнить с единицей?

[bubu gaga]

Обозначим левую часть за $L_n$, и правую за $R_n$ тогда следует

$$ L_n = L_{n - 1} \Bigl(1 - \frac{1}{2n} \Bigr) \equiv L_{n - 1} \, l_{n - 1} $$

$$ R_n = R_{n - 1} \sqrt{\frac{3n - 2}{3n +1}} \equiv R_{n - 1} \, r_{n - 1} $$

Если доказать, что для $ n \ge 1 $ верно $ l_{n - 1} \le r_{n - 1} $, то из $L_{n - 1} \le R_{n - 1} $ будет следовать

$$ L_n = L_{n - 1} \, l_{n - 1} \le R_{n - 1} \, l_{n - 1} \le R_{n - 1} \, r_{n - 1} = R_n $$

Добавив первый шаг индукции получаем доказательство