2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Невыпуклый многоугольник
Сообщение13.02.2020, 22:03 
Аватара пользователя


07/01/16
908
Аязьма
slavav в сообщении #1439749 писал(а):
Восьмиугольник удобно записать в радикалах:
$(8, \sqrt 2 + (8\sqrt 2 - 2)i, -10 + 16i, -\sqrt 2 + (8\sqrt 2 + 2)i, 12, -\sqrt 2 - (8\sqrt 2 + 2)i, -10 - 16i, \sqrt 2 - (8\sqrt 2 - 2)i)$
ух ты, даже 8-угольник! И, раз там только целые и корни из двух, любую его итерацию же можно выписать в явном виде, по крайней мере в принципе. Красота! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Невыпуклый многоугольник
Сообщение15.02.2020, 09:57 


02/09/10
60
Гм. Пока полностью согласен только с ответом на п. а).
По б). Действительно, нетрудно проверить домножением указанного slavav вектора для восьмиугольника на матрицу :-)
$$\begin{bmatrix}
 1 & \frac {2+\sqrt{2}}{4} & \frac12 & \frac {2-\sqrt{2}}{4} & 0 & \frac {2-\sqrt{2}}{4} & \frac12 & \frac {2+\sqrt{2}}{4}\\
\frac {2+\sqrt{2}}{4} & 1 & \frac {2+\sqrt{2}}{4} & \frac12 & \frac {2-\sqrt{2}}{4} & 0 & \frac {2-\sqrt{2}}{4} & \frac12 \\
\frac12 & \frac {2+\sqrt{2}}{4} & 1 & \frac {2+\sqrt{2}}{4} & \frac12 & \frac {2-\sqrt{2}}{4} & 0 & \frac {2-\sqrt{2}}{4}\\
 \frac {2-\sqrt{2}}{4} & \frac12 & \frac {2+\sqrt{2}}{4} & 1 & \frac {2+\sqrt{2}}{4} & \frac12 & \frac {2-\sqrt{2}}{4} & 0 \\
 0 & \frac {2-\sqrt{2}}{4} & \frac12 & \frac {2+\sqrt{2}}{4} & 1 & \frac {2+\sqrt{2}}{4} & \frac12 & \frac {2-\sqrt{2}}{4} \\
\frac {2-\sqrt{2}}{4} & 0 & \frac {2-\sqrt{2}}{4} & \frac12 & \frac {2+\sqrt{2}}{4} & 1 & \frac {2+\sqrt{2}}{4} & \frac12 \\
\frac12 & \frac {2-\sqrt{2}}{4} & 0 & \frac {2-\sqrt{2}}{4} & \frac12 & \frac {2+\sqrt{2}}{4} & 1 & \frac {2+\sqrt{2}}{4} \\
\frac {2+\sqrt{2}}{4} & \frac12 & \frac {2-\sqrt{2}}{4} & 0 & \frac {2-\sqrt{2}}{4} & \frac12 & \frac {2+\sqrt{2}}{4} & 1 \\
\end{bmatrix}$$
,что представленный восьмиугольник вытягивается в пределе итераций в вертикальную струнку, однако остается пара вопросов:
- не потеряет ли он невыпуклость "по дороге"?
- как насчет n=6 и n=7?
Хотя в целом красиво сработано, что да - то да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Невыпуклый многоугольник
Сообщение16.02.2020, 12:13 
Заслуженный участник


26/05/14
869
Первая геометрическая лемма
Образ круга - эллипс:
Рассмотрим $M: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, M(x) = ax + b\overline{x}$, где $\overline{x}$ - операция сопряжения.
Можно доказать что образ единичной окружности $M({\left\lvert x\right\rvert = 1})$ есть эллипс с полуосями $\left\lvert a \right\rvert + \left\lvert b \right\rvert$ и $\left\lvert \left\lvert a \right\rvert - \left\lvert b \right\rvert \right\rvert$.
Если $\left\lvert a \right\rvert = \left\lvert b \right\rvert$, то эллипс вырождается в отрезок длины $4\left\lvert a \right\rvert$.

Вторая геометрическая лемма
Малые возмущения не портят выпуклость:
Дан выпуклый многоугольник $u$. $w_m$ последовательность ломаных (возможно самопересекающихся).
Можно доказать что если $\lim\limits_{m \to \infty}w_m = 0$, то найдётся $m_0$ такое что $u + w_{m_0}$ - выпуклый.

Обозначения
Первообразный корень из единицы порядка $n$: $\varepsilon_n = e^{\frac{2\pi i}{n}}$.
Отображение многоугольников задаёт оператор $A$ с собственными векторами и значениями:
$v_k=(1,\varepsilon_n^k, \varepsilon_n^{2k}, \dots, \varepsilon_n^{(n-2)k}, \varepsilon_n^{(n-1)k}), k = 0 \dots n-1$,
$\lambda_k=\frac{1 + \varepsilon_n^k}2, k = 0 \dots n-1$.

Пары собственных чисел и векторов сопряжены: $\lambda_k = \overline{\lambda_{n-k}}, v_k = \overline{v_{n-k}}, k = 1 \dots n - 1$.

Модули собственных чисел убывают к середине: $\left\lvert \lambda_k \right\rvert > \left\lvert \lambda_{k+1} \right\rvert, k = 0, \dots, \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor$.

Произвольный многоугольник в базисе из собственных векторов: $\sum\limits_{k=0}^{n-1} a_k v_k$.

Отобразим его $m$ раз: $A^m(\sum\limits_{k=0}^{n-1} a_k v_k) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} a_k \lambda_k^m v_k$.

"Предел" итераций по $m$

Положим $a_0 = 0$. Он отвечает только за трансляцию всего многоугольника и не влияет на выпуклость так как $v_0 = (1, \dots, 1)$.
Положим $\left\lvert a_1 \right\rvert \ne \left\lvert a_{n - 1} \right\rvert$.

Все вершины многоугольника можно умножать или делить на один и тот же коэффициент. На выпуклость не влияет:
$\frac{A^m(\sum\limits_{k=1}^{n - 1} a_k v_k)}{\left\lvert\lambda_1^m\right\rvert} = \sum\limits_{k=1}^{n - 1} a_k \frac{\lambda_k^m}{\left\lvert\lambda_1^m\right\rvert} v_k =$

$= [a_1 \frac{\lambda_1^m}{\left\lvert\lambda_1^m\right\rvert} v_1 + a_{n - 1} \frac{\lambda_{n - 1}^m}{\left\lvert\lambda_1^m\right\rvert} v_{n - 1}] + \sum\limits_{k=2}^{n - 2} a_k \frac{\lambda_k^m}{\left\lvert\lambda_1^m\right\rvert} v_k =$

$= [a_1 \frac{\lambda_1^m}{\left\lvert\lambda_1^m\right\rvert} v_1 + a_{n - 1} \frac{\overline{\lambda_1}^m}{\left\lvert\lambda_1^m\right\rvert} v_{n - 1}] + \sum\limits_{k=2}^{n - 2} a_k \frac{\lambda_k^m}{\left\lvert\lambda_1^m\right\rvert} v_k$.

$= [a_1 (\frac{\lambda_1}{\left\lvert\lambda_1\right\rvert})^m v_1 + a_{n - 1} (\frac{\overline{\lambda_1}}{\left\lvert\lambda_1\right\rvert})^m \overline{v_1}] + \sum\limits_{k=2}^{n - 2} a_k \frac{\lambda_k^m}{\left\lvert\lambda_1^m\right\rvert} v_k$.

$= \left\lbrace a_1 (\frac{\lambda_1}{\left\lvert\lambda_1\right\rvert})^m v_1 + a_{n - 1} \overline{(\frac{\lambda_1}{\left\lvert\lambda_1\right\rvert})^m v_1}\right\rbrace + \sum\limits_{k=2}^{n - 2} a_k \frac{\lambda_k^m}{\left\lvert\lambda_1^m\right\rvert} v_k$.

По первой геометрической лемме первое слагаемое отображает $v_1$ в выпуклый многоугольник вписанный в эллипс с полуосями $\left\lvert a_1 \right\rvert + \left\lvert a_{n - 1} \right\rvert$ и $\left\lvert \left\lvert a_1 \right\rvert - \left\lvert a_{n - 1} \right\rvert \right\rvert$.
Второе слагаемое стремится к нулю так как $\lim\limits_{m \to \infty}(\frac{\lambda_k}{\left\lvert\lambda_1\right\rvert})^m = 0, k = 2, \dots, n - 2$.

По второй геометрической лемме в последовательности отображений найдётся выпуклый многоугольник.

Вывод
Так как мы ищем многоугольник который останется невыпуклым после любого $A^m$, то надо рассматривать только случай $\left\lvert a_1 \right\rvert = \left\lvert a_{n - 1} \right\rvert$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Невыпуклый многоугольник
Сообщение02.03.2020, 01:20 
Заслуженный участник


26/05/14
869
Почему шестиугольник не годится?
Базис выглядит так:$$\begin{tikzpicture}\draw [black, thin](1.48,0.0000) -- (1.5000,0.0000);\draw [black, thin](2.6000,0.0000) -- (2.3500,0.4330) -- (1.8500,0.4330) -- (1.6000,0.0000) -- (1.8500,-0.4330) -- (2.3500,-0.4330) -- (2.6000,0.0000);\draw [black, thin](3.7000,0.0000) -- (2.9500,0.4330) -- (2.9500,-0.4330) -- (3.7000,-0.0000) -- (2.9500,0.4330) -- (2.9500,-0.4330) -- (3.7000,0.0000);\draw [black, thin](4.8000,0.0000) -- (3.8000,0.0000) -- (4.8000,-0.0000) -- (3.8000,0.0000) -- (4.8000,-0.0000) -- (3.8000,0.0000) -- (4.8000,0.0000);\draw [black, thin](5.9000,0.0000) -- (5.1500,-0.4330) -- (5.1500,0.4330) -- (5.9000,-0.0000) -- (5.1500,-0.4330) -- (5.1500,0.4330) -- (5.9000,0.0000);\draw [black, thin](7.0000,0.0000) -- (6.7500,-0.4330) -- (6.2500,-0.4330) -- (6.0000,0.0000) -- (6.2500,0.4330) -- (6.7500,0.4330) -- (7.0000,0.0000);\end{tikzpicture}$$
Предположим что нам удалось построить шестиугольник, который остаётся не выпуклым без самопересечений после применения $A^m, m \geqslant 0$.
Так как нулевой вектор не меняет форму многоугольника то $a_0 = 0$.
Так как $\lambda_3 = 0$, то не умоляя общности $a_3 = 0$.
Из предыдущего сообщения $\left\lvert a_1 \right\rvert = \left\lvert a_5 \right\rvert$.
Последнее условие означает что шестиугольник проектируется на прямую (временно примем $a_2 = a_4 = 0$). Обозначим проекции $p_k$. В каком порядке они могут оказаться на прямой? Вариантов конечное количество. Рассмотрим основные варианты:
1. $p_0 < p_1 = p_5 < p_2 = p_4 < p_3$.
2. $p_0 < p_1 < p_5 < p_2 < p_4 < p_3$.
3. $p_0 = p_1 < p_5 = p_2 < p_4 = p_3$.

Оператор $A$ переводит вариант 1 в 3 и наоборот. Вариант 2 переходит сам в себя с циклической перестановкой индексов.

Вариант 3 не подходит: после проекции пятая и вторая вершины совпадают. Они совпадают и в векторах $\varepsilon^2_6$ и $\varepsilon^4_6$ (в базисе это треугольники). Тогда они совпадут и в любой линейной комбинации. Самопересечение.
Вариант 1 перейдёт в вариант 3 и даст самопересечение на следующем шаге.

Вариант 2
Применим оператор $A$ много раз. Модули $\lambda_2^m a_2$ и \lambda_4^m  $a_4$ есть o-малые от модуля $\lambda_1^m a_1$. Тогда начиная с некоторой итерации добавление $\lambda_2^m a_2 \varepsilon^2_6$ + $\lambda_4^m a_4 \varepsilon^4_6$ к точкам $p_i$ не будет влиять на порядок их проекций на прямую.

Повернём прямую чтобы она стала горизонтальной. Нулевая и третья вершины на одной высоте. То же верно для первой и четвёртой. И для второй и пятой. Среди этих трёх высот есть минимальная и максимальная. Выберем любой экстремум, но не пару ноль-три. Пусть для определённости это пара один-четыре, максимум. Первая вершина принадлежит цепи $0-1-2-3$, четвёртая - цепи $3-4-5-0$. Из этих двух цепей одна выше другой. Следовательно у них должны быть разные максимумы. Противоречие, которое разрешается только если цепи пересекаются.

То есть, шестиугольник не может решить задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Невыпуклый многоугольник
Сообщение14.03.2020, 23:28 
Заслуженный участник


26/05/14
869
Про восьмиугольник.
Введём функцию, отображающую пару вещественных чисел в восьмиугольник: $v\left(c, d\right) = \left(v_1 - v_7\right) + c v_2 + c d \left(v_3 + v_5\right)$.
Первое слагаемое $v\left(0, 0\right) = v_1 - v_7$ выглядит так:
$$
\begin{tikzpicture}
\draw [black, fill](0.0500,0.0000) -- (0.0354,0.0354) -- (0.0000,0.0500) -- (-0.0354,0.0354) -- (-0.0500,0.0000) -- (-0.0354,-0.0354) -- (-0.0000,-0.0500) -- (0.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,4.2426) -- (0.0354,4.2780) -- (0.0000,4.2926) -- (-0.0354,4.2780) -- (-0.0500,4.2426) -- (-0.0354,4.2073) -- (0.0000,4.1926) -- (0.0354,4.2073) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,6.0000) -- (0.0354,6.0354) -- (0.0000,6.0500) -- (-0.0354,6.0354) -- (-0.0500,6.0000) -- (-0.0354,5.9646) -- (0.0000,5.9500) -- (0.0354,5.9646) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,4.2426) -- (0.0354,4.2780) -- (-0.0000,4.2926) -- (-0.0354,4.2780) -- (-0.0500,4.2426) -- (-0.0354,4.2073) -- (-0.0000,4.1926) -- (0.0354,4.2073) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,-0.0000) -- (0.0354,0.0354) -- (0.0000,0.0500) -- (-0.0354,0.0354) -- (-0.0500,-0.0000) -- (-0.0354,-0.0354) -- (-0.0000,-0.0500) -- (0.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,-4.2426) -- (0.0354,-4.2073) -- (-0.0000,-4.1926) -- (-0.0354,-4.2073) -- (-0.0500,-4.2426) -- (-0.0354,-4.2780) -- (-0.0000,-4.2926) -- (0.0354,-4.2780) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,-6.0000) -- (0.0354,-5.9646) -- (0.0000,-5.9500) -- (-0.0354,-5.9646) -- (-0.0500,-6.0000) -- (-0.0354,-6.0354) -- (0.0000,-6.0500) -- (0.0354,-6.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,-4.2426) -- (0.0354,-4.2073) -- (-0.0000,-4.1926) -- (-0.0354,-4.2073) -- (-0.0500,-4.2426) -- (-0.0354,-4.2780) -- (-0.0000,-4.2926) -- (0.0354,-4.2780) -- cycle;
\node [right, black] at (0.0000,0.0000) {0};
\node [right, black] at (0.0000,4.2426) {1};
\node [above, black] at (0.0000,6.0000) {2};
\node [left, black] at (-0.0000,4.2426) {3};
\node [left, black] at (0.0000,-0.0000) {4};
\node [left, black] at (-0.0000,-4.2426) {5};
\node [below, black] at (0.0000,-6.0000) {6};
\node [right, black] at (-0.0000,-4.2426) {7};
\draw [black, thick](0.0000,0.0000) -- (0.0000,4.2426) -- (0.0000,6.0000) -- (-0.0000,4.2426) -- (0.0000,-0.0000) -- (-0.0000,-4.2426) -- (0.0000,-6.0000) -- (-0.0000,-4.2426) -- cycle;
\end{tikzpicture}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Невыпуклый многоугольник
Сообщение15.03.2020, 01:16 
Заслуженный участник


26/05/14
869
Добавим второе слагаемое.
На следующем рисунке в верхнем ряду разные варианты второго слагаемого $0, \frac19 v_2, \frac29 v_2, \frac13 v_2$
Под ними сумма двуx первых слагаемых $v\left(0, 0\right), v\left(\frac19, 0\right), v\left(\frac29, 0\right), v\left(\frac13, 0\right)$.
Серым нарисован $v\left(0, 0\right)$.
$$
\begin{tikzpicture}
\draw [black, fill](0.0500,0.0000) -- (0.0354,0.0354) -- (0.0000,0.0500) -- (-0.0354,0.0354) -- (-0.0500,0.0000) -- (-0.0354,-0.0354) -- (-0.0000,-0.0500) -- (0.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,0.0000) -- (0.0354,0.0354) -- (0.0000,0.0500) -- (-0.0354,0.0354) -- (-0.0500,0.0000) -- (-0.0354,-0.0354) -- (-0.0000,-0.0500) -- (0.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,0.0000) -- (0.0354,0.0354) -- (0.0000,0.0500) -- (-0.0354,0.0354) -- (-0.0500,0.0000) -- (-0.0354,-0.0354) -- (-0.0000,-0.0500) -- (0.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,0.0000) -- (0.0354,0.0354) -- (0.0000,0.0500) -- (-0.0354,0.0354) -- (-0.0500,0.0000) -- (-0.0354,-0.0354) -- (-0.0000,-0.0500) -- (0.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,0.0000) -- (0.0354,0.0354) -- (0.0000,0.0500) -- (-0.0354,0.0354) -- (-0.0500,0.0000) -- (-0.0354,-0.0354) -- (-0.0000,-0.0500) -- (0.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,0.0000) -- (0.0354,0.0354) -- (0.0000,0.0500) -- (-0.0354,0.0354) -- (-0.0500,0.0000) -- (-0.0354,-0.0354) -- (-0.0000,-0.0500) -- (0.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,0.0000) -- (0.0354,0.0354) -- (0.0000,0.0500) -- (-0.0354,0.0354) -- (-0.0500,0.0000) -- (-0.0354,-0.0354) -- (-0.0000,-0.0500) -- (0.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,0.0000) -- (0.0354,0.0354) -- (0.0000,0.0500) -- (-0.0354,0.0354) -- (-0.0500,0.0000) -- (-0.0354,-0.0354) -- (-0.0000,-0.0500) -- (0.0354,-0.0354) -- cycle;
\node [right, black] at (0.0000,0.0000) {0};
\node [above, black] at (0.0000,0.0000) {1};
\node [left, black] at (0.0000,0.0000) {2};
\node [below, black] at (0.0000,0.0000) {3};
\node [left, black] at (0.0000,0.0000) {4};
\node [below, black] at (0.0000,0.0000) {5};
\node [right, black] at (0.0000,0.0000) {6};
\node [above, black] at (0.0000,0.0000) {7};
\draw [black, thick](0.0000,0.0000) -- (0.0000,0.0000) -- (0.0000,0.0000) -- (0.0000,0.0000) -- (0.0000,0.0000) -- (0.0000,0.0000) -- (0.0000,0.0000) -- (0.0000,0.0000) -- cycle;
\draw [black, fill](4.3833,0.0000) -- (4.3687,0.0354) -- (4.3333,0.0500) -- (4.2980,0.0354) -- (4.2833,0.0000) -- (4.2980,-0.0354) -- (4.3333,-0.0500) -- (4.3687,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](4.0500,0.3333) -- (4.0354,0.3687) -- (4.0000,0.3833) -- (3.9646,0.3687) -- (3.9500,0.3333) -- (3.9646,0.2980) -- (4.0000,0.2833) -- (4.0354,0.2980) -- cycle;
\draw [black, fill](3.7167,0.0000) -- (3.7020,0.0354) -- (3.6667,0.0500) -- (3.6313,0.0354) -- (3.6167,0.0000) -- (3.6313,-0.0354) -- (3.6667,-0.0500) -- (3.7020,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](4.0500,-0.3333) -- (4.0354,-0.2980) -- (4.0000,-0.2833) -- (3.9646,-0.2980) -- (3.9500,-0.3333) -- (3.9646,-0.3687) -- (4.0000,-0.3833) -- (4.0354,-0.3687) -- cycle;
\draw [black, fill](4.3833,-0.0000) -- (4.3687,0.0354) -- (4.3333,0.0500) -- (4.2980,0.0354) -- (4.2833,-0.0000) -- (4.2980,-0.0354) -- (4.3333,-0.0500) -- (4.3687,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](4.0500,0.3333) -- (4.0354,0.3687) -- (4.0000,0.3833) -- (3.9646,0.3687) -- (3.9500,0.3333) -- (3.9646,0.2980) -- (4.0000,0.2833) -- (4.0354,0.2980) -- cycle;
\draw [black, fill](3.7167,0.0000) -- (3.7020,0.0354) -- (3.6667,0.0500) -- (3.6313,0.0354) -- (3.6167,0.0000) -- (3.6313,-0.0354) -- (3.6667,-0.0500) -- (3.7020,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](4.0500,-0.3333) -- (4.0354,-0.2980) -- (4.0000,-0.2833) -- (3.9646,-0.2980) -- (3.9500,-0.3333) -- (3.9646,-0.3687) -- (4.0000,-0.3833) -- (4.0354,-0.3687) -- cycle;
\node [right, black] at (4.3333,0.0000) {0};
\node [above, black] at (4.0000,0.3333) {1};
\node [left, black] at (3.6667,0.0000) {2};
\node [below, black] at (4.0000,-0.3333) {3};
\node [left, black] at (4.3333,-0.0000) {4};
\node [below, black] at (4.0000,0.3333) {5};
\node [right, black] at (3.6667,0.0000) {6};
\node [above, black] at (4.0000,-0.3333) {7};
\draw [black, thick](4.3333,0.0000) -- (4.0000,0.3333) -- (3.6667,0.0000) -- (4.0000,-0.3333) -- (4.3333,-0.0000) -- (4.0000,0.3333) -- (3.6667,0.0000) -- (4.0000,-0.3333) -- cycle;
\draw [black, fill](8.7167,0.0000) -- (8.7020,0.0354) -- (8.6667,0.0500) -- (8.6313,0.0354) -- (8.6167,0.0000) -- (8.6313,-0.0354) -- (8.6667,-0.0500) -- (8.7020,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](8.0500,0.6667) -- (8.0354,0.7020) -- (8.0000,0.7167) -- (7.9646,0.7020) -- (7.9500,0.6667) -- (7.9646,0.6313) -- (8.0000,0.6167) -- (8.0354,0.6313) -- cycle;
\draw [black, fill](7.3833,0.0000) -- (7.3687,0.0354) -- (7.3333,0.0500) -- (7.2980,0.0354) -- (7.2833,0.0000) -- (7.2980,-0.0354) -- (7.3333,-0.0500) -- (7.3687,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](8.0500,-0.6667) -- (8.0354,-0.6313) -- (8.0000,-0.6167) -- (7.9646,-0.6313) -- (7.9500,-0.6667) -- (7.9646,-0.7020) -- (8.0000,-0.7167) -- (8.0354,-0.7020) -- cycle;
\draw [black, fill](8.7167,-0.0000) -- (8.7020,0.0354) -- (8.6667,0.0500) -- (8.6313,0.0354) -- (8.6167,-0.0000) -- (8.6313,-0.0354) -- (8.6667,-0.0500) -- (8.7020,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](8.0500,0.6667) -- (8.0354,0.7020) -- (8.0000,0.7167) -- (7.9646,0.7020) -- (7.9500,0.6667) -- (7.9646,0.6313) -- (8.0000,0.6167) -- (8.0354,0.6313) -- cycle;
\draw [black, fill](7.3833,0.0000) -- (7.3687,0.0354) -- (7.3333,0.0500) -- (7.2980,0.0354) -- (7.2833,0.0000) -- (7.2980,-0.0354) -- (7.3333,-0.0500) -- (7.3687,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](8.0500,-0.6667) -- (8.0354,-0.6313) -- (8.0000,-0.6167) -- (7.9646,-0.6313) -- (7.9500,-0.6667) -- (7.9646,-0.7020) -- (8.0000,-0.7167) -- (8.0354,-0.7020) -- cycle;
\node [right, black] at (8.6667,0.0000) {0};
\node [above, black] at (8.0000,0.6667) {1};
\node [left, black] at (7.3333,0.0000) {2};
\node [below, black] at (8.0000,-0.6667) {3};
\node [left, black] at (8.6667,-0.0000) {4};
\node [below, black] at (8.0000,0.6667) {5};
\node [right, black] at (7.3333,0.0000) {6};
\node [above, black] at (8.0000,-0.6667) {7};
\draw [black, thick](8.6667,0.0000) -- (8.0000,0.6667) -- (7.3333,0.0000) -- (8.0000,-0.6667) -- (8.6667,-0.0000) -- (8.0000,0.6667) -- (7.3333,0.0000) -- (8.0000,-0.6667) -- cycle;
\draw [black, fill](13.0500,0.0000) -- (13.0354,0.0354) -- (13.0000,0.0500) -- (12.9646,0.0354) -- (12.9500,0.0000) -- (12.9646,-0.0354) -- (13.0000,-0.0500) -- (13.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](12.0500,1.0000) -- (12.0354,1.0354) -- (12.0000,1.0500) -- (11.9646,1.0354) -- (11.9500,1.0000) -- (11.9646,0.9646) -- (12.0000,0.9500) -- (12.0354,0.9646) -- cycle;
\draw [black, fill](11.0500,0.0000) -- (11.0354,0.0354) -- (11.0000,0.0500) -- (10.9646,0.0354) -- (10.9500,0.0000) -- (10.9646,-0.0354) -- (11.0000,-0.0500) -- (11.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](12.0500,-1.0000) -- (12.0354,-0.9646) -- (12.0000,-0.9500) -- (11.9646,-0.9646) -- (11.9500,-1.0000) -- (11.9646,-1.0354) -- (12.0000,-1.0500) -- (12.0354,-1.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](13.0500,-0.0000) -- (13.0354,0.0354) -- (13.0000,0.0500) -- (12.9646,0.0354) -- (12.9500,-0.0000) -- (12.9646,-0.0354) -- (13.0000,-0.0500) -- (13.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](12.0500,1.0000) -- (12.0354,1.0354) -- (12.0000,1.0500) -- (11.9646,1.0354) -- (11.9500,1.0000) -- (11.9646,0.9646) -- (12.0000,0.9500) -- (12.0354,0.9646) -- cycle;
\draw [black, fill](11.0500,0.0000) -- (11.0354,0.0354) -- (11.0000,0.0500) -- (10.9646,0.0354) -- (10.9500,0.0000) -- (10.9646,-0.0354) -- (11.0000,-0.0500) -- (11.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](12.0500,-1.0000) -- (12.0354,-0.9646) -- (12.0000,-0.9500) -- (11.9646,-0.9646) -- (11.9500,-1.0000) -- (11.9646,-1.0354) -- (12.0000,-1.0500) -- (12.0354,-1.0354) -- cycle;
\node [right, black] at (13.0000,0.0000) {0};
\node [above, black] at (12.0000,1.0000) {1};
\node [left, black] at (11.0000,0.0000) {2};
\node [below, black] at (12.0000,-1.0000) {3};
\node [left, black] at (13.0000,-0.0000) {4};
\node [below, black] at (12.0000,1.0000) {5};
\node [right, black] at (11.0000,0.0000) {6};
\node [above, black] at (12.0000,-1.0000) {7};
\draw [black, thick](13.0000,0.0000) -- (12.0000,1.0000) -- (11.0000,0.0000) -- (12.0000,-1.0000) -- (13.0000,-0.0000) -- (12.0000,1.0000) -- (11.0000,0.0000) -- (12.0000,-1.0000) -- cycle;
\draw [gray, fill](0.0500,-8.0000) -- (0.0354,-7.9646) -- (0.0000,-7.9500) -- (-0.0354,-7.9646) -- (-0.0500,-8.0000) -- (-0.0354,-8.0354) -- (-0.0000,-8.0500) -- (0.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](0.0500,-3.7574) -- (0.0354,-3.7220) -- (0.0000,-3.7074) -- (-0.0354,-3.7220) -- (-0.0500,-3.7574) -- (-0.0354,-3.7927) -- (0.0000,-3.8074) -- (0.0354,-3.7927) -- cycle;
\draw [gray, fill](0.0500,-2.0000) -- (0.0354,-1.9646) -- (0.0000,-1.9500) -- (-0.0354,-1.9646) -- (-0.0500,-2.0000) -- (-0.0354,-2.0354) -- (0.0000,-2.0500) -- (0.0354,-2.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](0.0500,-3.7574) -- (0.0354,-3.7220) -- (-0.0000,-3.7074) -- (-0.0354,-3.7220) -- (-0.0500,-3.7574) -- (-0.0354,-3.7927) -- (-0.0000,-3.8074) -- (0.0354,-3.7927) -- cycle;
\draw [gray, fill](0.0500,-8.0000) -- (0.0354,-7.9646) -- (0.0000,-7.9500) -- (-0.0354,-7.9646) -- (-0.0500,-8.0000) -- (-0.0354,-8.0354) -- (-0.0000,-8.0500) -- (0.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](0.0500,-12.2426) -- (0.0354,-12.2073) -- (-0.0000,-12.1926) -- (-0.0354,-12.2073) -- (-0.0500,-12.2426) -- (-0.0354,-12.2780) -- (-0.0000,-12.2926) -- (0.0354,-12.2780) -- cycle;
\draw [gray, fill](0.0500,-14.0000) -- (0.0354,-13.9646) -- (0.0000,-13.9500) -- (-0.0354,-13.9646) -- (-0.0500,-14.0000) -- (-0.0354,-14.0354) -- (0.0000,-14.0500) -- (0.0354,-14.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](0.0500,-12.2426) -- (0.0354,-12.2073) -- (-0.0000,-12.1926) -- (-0.0354,-12.2073) -- (-0.0500,-12.2426) -- (-0.0354,-12.2780) -- (-0.0000,-12.2926) -- (0.0354,-12.2780) -- cycle;
\draw [gray, thin](0.0000,-8.0000) -- (0.0000,-3.7574) -- (0.0000,-2.0000) -- (-0.0000,-3.7574) -- (0.0000,-8.0000) -- (-0.0000,-12.2426) -- (0.0000,-14.0000) -- (-0.0000,-12.2426) -- cycle;
\draw [gray, fill](4.0500,-8.0000) -- (4.0354,-7.9646) -- (4.0000,-7.9500) -- (3.9646,-7.9646) -- (3.9500,-8.0000) -- (3.9646,-8.0354) -- (4.0000,-8.0500) -- (4.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](4.0500,-3.7574) -- (4.0354,-3.7220) -- (4.0000,-3.7074) -- (3.9646,-3.7220) -- (3.9500,-3.7574) -- (3.9646,-3.7927) -- (4.0000,-3.8074) -- (4.0354,-3.7927) -- cycle;
\draw [gray, fill](4.0500,-2.0000) -- (4.0354,-1.9646) -- (4.0000,-1.9500) -- (3.9646,-1.9646) -- (3.9500,-2.0000) -- (3.9646,-2.0354) -- (4.0000,-2.0500) -- (4.0354,-2.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](4.0500,-3.7574) -- (4.0354,-3.7220) -- (4.0000,-3.7074) -- (3.9646,-3.7220) -- (3.9500,-3.7574) -- (3.9646,-3.7927) -- (4.0000,-3.8074) -- (4.0354,-3.7927) -- cycle;
\draw [gray, fill](4.0500,-8.0000) -- (4.0354,-7.9646) -- (4.0000,-7.9500) -- (3.9646,-7.9646) -- (3.9500,-8.0000) -- (3.9646,-8.0354) -- (4.0000,-8.0500) -- (4.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](4.0500,-12.2426) -- (4.0354,-12.2073) -- (4.0000,-12.1926) -- (3.9646,-12.2073) -- (3.9500,-12.2426) -- (3.9646,-12.2780) -- (4.0000,-12.2926) -- (4.0354,-12.2780) -- cycle;
\draw [gray, fill](4.0500,-14.0000) -- (4.0354,-13.9646) -- (4.0000,-13.9500) -- (3.9646,-13.9646) -- (3.9500,-14.0000) -- (3.9646,-14.0354) -- (4.0000,-14.0500) -- (4.0354,-14.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](4.0500,-12.2426) -- (4.0354,-12.2073) -- (4.0000,-12.1926) -- (3.9646,-12.2073) -- (3.9500,-12.2426) -- (3.9646,-12.2780) -- (4.0000,-12.2926) -- (4.0354,-12.2780) -- cycle;
\draw [gray, thin](4.0000,-8.0000) -- (4.0000,-3.7574) -- (4.0000,-2.0000) -- (4.0000,-3.7574) -- (4.0000,-8.0000) -- (4.0000,-12.2426) -- (4.0000,-14.0000) -- (4.0000,-12.2426) -- cycle;
\draw [gray, fill](8.0500,-8.0000) -- (8.0354,-7.9646) -- (8.0000,-7.9500) -- (7.9646,-7.9646) -- (7.9500,-8.0000) -- (7.9646,-8.0354) -- (8.0000,-8.0500) -- (8.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](8.0500,-3.7574) -- (8.0354,-3.7220) -- (8.0000,-3.7074) -- (7.9646,-3.7220) -- (7.9500,-3.7574) -- (7.9646,-3.7927) -- (8.0000,-3.8074) -- (8.0354,-3.7927) -- cycle;
\draw [gray, fill](8.0500,-2.0000) -- (8.0354,-1.9646) -- (8.0000,-1.9500) -- (7.9646,-1.9646) -- (7.9500,-2.0000) -- (7.9646,-2.0354) -- (8.0000,-2.0500) -- (8.0354,-2.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](8.0500,-3.7574) -- (8.0354,-3.7220) -- (8.0000,-3.7074) -- (7.9646,-3.7220) -- (7.9500,-3.7574) -- (7.9646,-3.7927) -- (8.0000,-3.8074) -- (8.0354,-3.7927) -- cycle;
\draw [gray, fill](8.0500,-8.0000) -- (8.0354,-7.9646) -- (8.0000,-7.9500) -- (7.9646,-7.9646) -- (7.9500,-8.0000) -- (7.9646,-8.0354) -- (8.0000,-8.0500) -- (8.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](8.0500,-12.2426) -- (8.0354,-12.2073) -- (8.0000,-12.1926) -- (7.9646,-12.2073) -- (7.9500,-12.2426) -- (7.9646,-12.2780) -- (8.0000,-12.2926) -- (8.0354,-12.2780) -- cycle;
\draw [gray, fill](8.0500,-14.0000) -- (8.0354,-13.9646) -- (8.0000,-13.9500) -- (7.9646,-13.9646) -- (7.9500,-14.0000) -- (7.9646,-14.0354) -- (8.0000,-14.0500) -- (8.0354,-14.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](8.0500,-12.2426) -- (8.0354,-12.2073) -- (8.0000,-12.1926) -- (7.9646,-12.2073) -- (7.9500,-12.2426) -- (7.9646,-12.2780) -- (8.0000,-12.2926) -- (8.0354,-12.2780) -- cycle;
\draw [gray, thin](8.0000,-8.0000) -- (8.0000,-3.7574) -- (8.0000,-2.0000) -- (8.0000,-3.7574) -- (8.0000,-8.0000) -- (8.0000,-12.2426) -- (8.0000,-14.0000) -- (8.0000,-12.2426) -- cycle;
\draw [gray, fill](12.0500,-8.0000) -- (12.0354,-7.9646) -- (12.0000,-7.9500) -- (11.9646,-7.9646) -- (11.9500,-8.0000) -- (11.9646,-8.0354) -- (12.0000,-8.0500) -- (12.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](12.0500,-3.7574) -- (12.0354,-3.7220) -- (12.0000,-3.7074) -- (11.9646,-3.7220) -- (11.9500,-3.7574) -- (11.9646,-3.7927) -- (12.0000,-3.8074) -- (12.0354,-3.7927) -- cycle;
\draw [gray, fill](12.0500,-2.0000) -- (12.0354,-1.9646) -- (12.0000,-1.9500) -- (11.9646,-1.9646) -- (11.9500,-2.0000) -- (11.9646,-2.0354) -- (12.0000,-2.0500) -- (12.0354,-2.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](12.0500,-3.7574) -- (12.0354,-3.7220) -- (12.0000,-3.7074) -- (11.9646,-3.7220) -- (11.9500,-3.7574) -- (11.9646,-3.7927) -- (12.0000,-3.8074) -- (12.0354,-3.7927) -- cycle;
\draw [gray, fill](12.0500,-8.0000) -- (12.0354,-7.9646) -- (12.0000,-7.9500) -- (11.9646,-7.9646) -- (11.9500,-8.0000) -- (11.9646,-8.0354) -- (12.0000,-8.0500) -- (12.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](12.0500,-12.2426) -- (12.0354,-12.2073) -- (12.0000,-12.1926) -- (11.9646,-12.2073) -- (11.9500,-12.2426) -- (11.9646,-12.2780) -- (12.0000,-12.2926) -- (12.0354,-12.2780) -- cycle;
\draw [gray, fill](12.0500,-14.0000) -- (12.0354,-13.9646) -- (12.0000,-13.9500) -- (11.9646,-13.9646) -- (11.9500,-14.0000) -- (11.9646,-14.0354) -- (12.0000,-14.0500) -- (12.0354,-14.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](12.0500,-12.2426) -- (12.0354,-12.2073) -- (12.0000,-12.1926) -- (11.9646,-12.2073) -- (11.9500,-12.2426) -- (11.9646,-12.2780) -- (12.0000,-12.2926) -- (12.0354,-12.2780) -- cycle;
\draw [gray, thin](12.0000,-8.0000) -- (12.0000,-3.7574) -- (12.0000,-2.0000) -- (12.0000,-3.7574) -- (12.0000,-8.0000) -- (12.0000,-12.2426) -- (12.0000,-14.0000) -- (12.0000,-12.2426) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,-8.0000) -- (0.0354,-7.9646) -- (0.0000,-7.9500) -- (-0.0354,-7.9646) -- (-0.0500,-8.0000) -- (-0.0354,-8.0354) -- (-0.0000,-8.0500) -- (0.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,-3.7574) -- (0.0354,-3.7220) -- (0.0000,-3.7074) -- (-0.0354,-3.7220) -- (-0.0500,-3.7574) -- (-0.0354,-3.7927) -- (0.0000,-3.8074) -- (0.0354,-3.7927) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,-2.0000) -- (0.0354,-1.9646) -- (0.0000,-1.9500) -- (-0.0354,-1.9646) -- (-0.0500,-2.0000) -- (-0.0354,-2.0354) -- (0.0000,-2.0500) -- (0.0354,-2.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,-3.7574) -- (0.0354,-3.7220) -- (-0.0000,-3.7074) -- (-0.0354,-3.7220) -- (-0.0500,-3.7574) -- (-0.0354,-3.7927) -- (-0.0000,-3.8074) -- (0.0354,-3.7927) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,-8.0000) -- (0.0354,-7.9646) -- (0.0000,-7.9500) -- (-0.0354,-7.9646) -- (-0.0500,-8.0000) -- (-0.0354,-8.0354) -- (-0.0000,-8.0500) -- (0.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,-12.2426) -- (0.0354,-12.2073) -- (-0.0000,-12.1926) -- (-0.0354,-12.2073) -- (-0.0500,-12.2426) -- (-0.0354,-12.2780) -- (-0.0000,-12.2926) -- (0.0354,-12.2780) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,-14.0000) -- (0.0354,-13.9646) -- (0.0000,-13.9500) -- (-0.0354,-13.9646) -- (-0.0500,-14.0000) -- (-0.0354,-14.0354) -- (0.0000,-14.0500) -- (0.0354,-14.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,-12.2426) -- (0.0354,-12.2073) -- (-0.0000,-12.1926) -- (-0.0354,-12.2073) -- (-0.0500,-12.2426) -- (-0.0354,-12.2780) -- (-0.0000,-12.2926) -- (0.0354,-12.2780) -- cycle;
\node [right, black] at (0.0000,-8.0000) {0};
\node [right, black] at (0.0000,-3.7574) {1};
\node [above, black] at (0.0000,-2.0000) {2};
\node [left, black] at (-0.0000,-3.7574) {3};
\node [left, black] at (0.0000,-8.0000) {4};
\node [left, black] at (-0.0000,-12.2426) {5};
\node [below, black] at (0.0000,-14.0000) {6};
\node [right, black] at (-0.0000,-12.2426) {7};
\draw [black, thick](0.0000,-8.0000) -- (0.0000,-3.7574) -- (0.0000,-2.0000) -- (-0.0000,-3.7574) -- (0.0000,-8.0000) -- (-0.0000,-12.2426) -- (0.0000,-14.0000) -- (-0.0000,-12.2426) -- cycle;
\draw [black, fill](4.3833,-8.0000) -- (4.3687,-7.9646) -- (4.3333,-7.9500) -- (4.2980,-7.9646) -- (4.2833,-8.0000) -- (4.2980,-8.0354) -- (4.3333,-8.0500) -- (4.3687,-8.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](4.0500,-3.4240) -- (4.0354,-3.3887) -- (4.0000,-3.3740) -- (3.9646,-3.3887) -- (3.9500,-3.4240) -- (3.9646,-3.4594) -- (4.0000,-3.4740) -- (4.0354,-3.4594) -- cycle;
\draw [black, fill](3.7167,-2.0000) -- (3.7020,-1.9646) -- (3.6667,-1.9500) -- (3.6313,-1.9646) -- (3.6167,-2.0000) -- (3.6313,-2.0354) -- (3.6667,-2.0500) -- (3.7020,-2.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](4.0500,-4.0907) -- (4.0354,-4.0553) -- (4.0000,-4.0407) -- (3.9646,-4.0553) -- (3.9500,-4.0907) -- (3.9646,-4.1260) -- (4.0000,-4.1407) -- (4.0354,-4.1260) -- cycle;
\draw [black, fill](4.3833,-8.0000) -- (4.3687,-7.9646) -- (4.3333,-7.9500) -- (4.2980,-7.9646) -- (4.2833,-8.0000) -- (4.2980,-8.0354) -- (4.3333,-8.0500) -- (4.3687,-8.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](4.0500,-11.9093) -- (4.0354,-11.8740) -- (4.0000,-11.8593) -- (3.9646,-11.8740) -- (3.9500,-11.9093) -- (3.9646,-11.9447) -- (4.0000,-11.9593) -- (4.0354,-11.9447) -- cycle;
\draw [black, fill](3.7167,-14.0000) -- (3.7020,-13.9646) -- (3.6667,-13.9500) -- (3.6313,-13.9646) -- (3.6167,-14.0000) -- (3.6313,-14.0354) -- (3.6667,-14.0500) -- (3.7020,-14.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](4.0500,-12.5760) -- (4.0354,-12.5406) -- (4.0000,-12.5260) -- (3.9646,-12.5406) -- (3.9500,-12.5760) -- (3.9646,-12.6113) -- (4.0000,-12.6260) -- (4.0354,-12.6113) -- cycle;
\node [right, black] at (4.3333,-8.0000) {0};
\node [right, black] at (4.0000,-3.4240) {1};
\node [above, black] at (3.6667,-2.0000) {2};
\node [left, black] at (4.0000,-4.0907) {3};
\node [left, black] at (4.3333,-8.0000) {4};
\node [left, black] at (4.0000,-11.9093) {5};
\node [below, black] at (3.6667,-14.0000) {6};
\node [right, black] at (4.0000,-12.5760) {7};
\draw [black, thick](4.3333,-8.0000) -- (4.0000,-3.4240) -- (3.6667,-2.0000) -- (4.0000,-4.0907) -- (4.3333,-8.0000) -- (4.0000,-11.9093) -- (3.6667,-14.0000) -- (4.0000,-12.5760) -- cycle;
\draw [black, fill](8.7167,-8.0000) -- (8.7020,-7.9646) -- (8.6667,-7.9500) -- (8.6313,-7.9646) -- (8.6167,-8.0000) -- (8.6313,-8.0354) -- (8.6667,-8.0500) -- (8.7020,-8.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](8.0500,-3.0907) -- (8.0354,-3.0553) -- (8.0000,-3.0407) -- (7.9646,-3.0553) -- (7.9500,-3.0907) -- (7.9646,-3.1260) -- (8.0000,-3.1407) -- (8.0354,-3.1260) -- cycle;
\draw [black, fill](7.3833,-2.0000) -- (7.3687,-1.9646) -- (7.3333,-1.9500) -- (7.2980,-1.9646) -- (7.2833,-2.0000) -- (7.2980,-2.0354) -- (7.3333,-2.0500) -- (7.3687,-2.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](8.0500,-4.4240) -- (8.0354,-4.3887) -- (8.0000,-4.3740) -- (7.9646,-4.3887) -- (7.9500,-4.4240) -- (7.9646,-4.4594) -- (8.0000,-4.4740) -- (8.0354,-4.4594) -- cycle;
\draw [black, fill](8.7167,-8.0000) -- (8.7020,-7.9646) -- (8.6667,-7.9500) -- (8.6313,-7.9646) -- (8.6167,-8.0000) -- (8.6313,-8.0354) -- (8.6667,-8.0500) -- (8.7020,-8.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](8.0500,-11.5760) -- (8.0354,-11.5406) -- (8.0000,-11.5260) -- (7.9646,-11.5406) -- (7.9500,-11.5760) -- (7.9646,-11.6113) -- (8.0000,-11.6260) -- (8.0354,-11.6113) -- cycle;
\draw [black, fill](7.3833,-14.0000) -- (7.3687,-13.9646) -- (7.3333,-13.9500) -- (7.2980,-13.9646) -- (7.2833,-14.0000) -- (7.2980,-14.0354) -- (7.3333,-14.0500) -- (7.3687,-14.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](8.0500,-12.9093) -- (8.0354,-12.8740) -- (8.0000,-12.8593) -- (7.9646,-12.8740) -- (7.9500,-12.9093) -- (7.9646,-12.9447) -- (8.0000,-12.9593) -- (8.0354,-12.9447) -- cycle;
\node [right, black] at (8.6667,-8.0000) {0};
\node [right, black] at (8.0000,-3.0907) {1};
\node [above, black] at (7.3333,-2.0000) {2};
\node [left, black] at (8.0000,-4.4240) {3};
\node [left, black] at (8.6667,-8.0000) {4};
\node [left, black] at (8.0000,-11.5760) {5};
\node [below, black] at (7.3333,-14.0000) {6};
\node [right, black] at (8.0000,-12.9093) {7};
\draw [black, thick](8.6667,-8.0000) -- (8.0000,-3.0907) -- (7.3333,-2.0000) -- (8.0000,-4.4240) -- (8.6667,-8.0000) -- (8.0000,-11.5760) -- (7.3333,-14.0000) -- (8.0000,-12.9093) -- cycle;
\draw [black, fill](13.0500,-8.0000) -- (13.0354,-7.9646) -- (13.0000,-7.9500) -- (12.9646,-7.9646) -- (12.9500,-8.0000) -- (12.9646,-8.0354) -- (13.0000,-8.0500) -- (13.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](12.0500,-2.7574) -- (12.0354,-2.7220) -- (12.0000,-2.7074) -- (11.9646,-2.7220) -- (11.9500,-2.7574) -- (11.9646,-2.7927) -- (12.0000,-2.8074) -- (12.0354,-2.7927) -- cycle;
\draw [black, fill](11.0500,-2.0000) -- (11.0354,-1.9646) -- (11.0000,-1.9500) -- (10.9646,-1.9646) -- (10.9500,-2.0000) -- (10.9646,-2.0354) -- (11.0000,-2.0500) -- (11.0354,-2.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](12.0500,-4.7574) -- (12.0354,-4.7220) -- (12.0000,-4.7074) -- (11.9646,-4.7220) -- (11.9500,-4.7574) -- (11.9646,-4.7927) -- (12.0000,-4.8074) -- (12.0354,-4.7927) -- cycle;
\draw [black, fill](13.0500,-8.0000) -- (13.0354,-7.9646) -- (13.0000,-7.9500) -- (12.9646,-7.9646) -- (12.9500,-8.0000) -- (12.9646,-8.0354) -- (13.0000,-8.0500) -- (13.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](12.0500,-11.2426) -- (12.0354,-11.2073) -- (12.0000,-11.1926) -- (11.9646,-11.2073) -- (11.9500,-11.2426) -- (11.9646,-11.2780) -- (12.0000,-11.2926) -- (12.0354,-11.2780) -- cycle;
\draw [black, fill](11.0500,-14.0000) -- (11.0354,-13.9646) -- (11.0000,-13.9500) -- (10.9646,-13.9646) -- (10.9500,-14.0000) -- (10.9646,-14.0354) -- (11.0000,-14.0500) -- (11.0354,-14.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](12.0500,-13.2426) -- (12.0354,-13.2073) -- (12.0000,-13.1926) -- (11.9646,-13.2073) -- (11.9500,-13.2426) -- (11.9646,-13.2780) -- (12.0000,-13.2926) -- (12.0354,-13.2780) -- cycle;
\node [right, black] at (13.0000,-8.0000) {0};
\node [right, black] at (12.0000,-2.7574) {1};
\node [above, black] at (11.0000,-2.0000) {2};
\node [left, black] at (12.0000,-4.7574) {3};
\node [left, black] at (13.0000,-8.0000) {4};
\node [left, black] at (12.0000,-11.2426) {5};
\node [below, black] at (11.0000,-14.0000) {6};
\node [right, black] at (12.0000,-13.2426) {7};
\draw [black, thick](13.0000,-8.0000) -- (12.0000,-2.7574) -- (11.0000,-2.0000) -- (12.0000,-4.7574) -- (13.0000,-8.0000) -- (12.0000,-11.2426) -- (11.0000,-14.0000) -- (12.0000,-13.2426) -- cycle;
\end{tikzpicture}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Невыпуклый многоугольник
Сообщение15.03.2020, 10:31 
Заслуженный участник


26/05/14
869
Добавим третье слагаемое.
В верхнем ряду разные варианты третьего слагаемого $0, \frac1{63}\left(v_3 + v_5\right), \frac2{63}\left(v_3 + v_5\right), \frac1{21}\left(v_3 + v_5\right)$.
Под ними сумма трёх слагаемых $v\left(\frac13, 0\right), v\left(\frac13, \frac1{21}\right), v\left(\frac13, \frac2{21}\right), v\left(\frac13, \frac17\right)$.
Серым нарисован $v\left(\frac13, 0\right)$.
$$
\begin{tikzpicture}
\draw [black, fill](0.0500,0.0000) -- (0.0354,0.0354) -- (0.0000,0.0500) -- (-0.0354,0.0354) -- (-0.0500,0.0000) -- (-0.0354,-0.0354) -- (-0.0000,-0.0500) -- (0.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,0.0000) -- (0.0354,0.0354) -- (0.0000,0.0500) -- (-0.0354,0.0354) -- (-0.0500,0.0000) -- (-0.0354,-0.0354) -- (-0.0000,-0.0500) -- (0.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,0.0000) -- (0.0354,0.0354) -- (0.0000,0.0500) -- (-0.0354,0.0354) -- (-0.0500,0.0000) -- (-0.0354,-0.0354) -- (-0.0000,-0.0500) -- (0.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,0.0000) -- (0.0354,0.0354) -- (0.0000,0.0500) -- (-0.0354,0.0354) -- (-0.0500,0.0000) -- (-0.0354,-0.0354) -- (-0.0000,-0.0500) -- (0.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,0.0000) -- (0.0354,0.0354) -- (0.0000,0.0500) -- (-0.0354,0.0354) -- (-0.0500,0.0000) -- (-0.0354,-0.0354) -- (-0.0000,-0.0500) -- (0.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,0.0000) -- (0.0354,0.0354) -- (0.0000,0.0500) -- (-0.0354,0.0354) -- (-0.0500,0.0000) -- (-0.0354,-0.0354) -- (-0.0000,-0.0500) -- (0.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,0.0000) -- (0.0354,0.0354) -- (0.0000,0.0500) -- (-0.0354,0.0354) -- (-0.0500,0.0000) -- (-0.0354,-0.0354) -- (-0.0000,-0.0500) -- (0.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,0.0000) -- (0.0354,0.0354) -- (0.0000,0.0500) -- (-0.0354,0.0354) -- (-0.0500,0.0000) -- (-0.0354,-0.0354) -- (-0.0000,-0.0500) -- (0.0354,-0.0354) -- cycle;
\node [right, black] at (0.0000,0.0000) {0};
\node [above, black] at (0.0000,0.0000) {1};
\node [below, black] at (0.0000,0.0000) {2};
\node [above, black] at (0.0000,0.0000) {3};
\node [left, black] at (0.0000,0.0000) {4};
\node [below, black] at (0.0000,0.0000) {5};
\node [above, black] at (0.0000,0.0000) {6};
\node [below, black] at (0.0000,0.0000) {7};
\draw [black, thick](0.0000,0.0000) -- (0.0000,0.0000) -- (0.0000,0.0000) -- (0.0000,0.0000) -- (0.0000,0.0000) -- (0.0000,0.0000) -- (0.0000,0.0000) -- (0.0000,0.0000) -- cycle;
\draw [black, fill](4.1452,0.0000) -- (4.1306,0.0354) -- (4.0952,0.0500) -- (4.0599,0.0354) -- (4.0452,0.0000) -- (4.0599,-0.0354) -- (4.0952,-0.0500) -- (4.1306,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](3.9827,0.0000) -- (3.9680,0.0354) -- (3.9327,0.0500) -- (3.8973,0.0354) -- (3.8827,0.0000) -- (3.8973,-0.0354) -- (3.9327,-0.0500) -- (3.9680,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](4.0500,0.0000) -- (4.0354,0.0354) -- (4.0000,0.0500) -- (3.9646,0.0354) -- (3.9500,0.0000) -- (3.9646,-0.0354) -- (4.0000,-0.0500) -- (4.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](4.1173,-0.0000) -- (4.1027,0.0354) -- (4.0673,0.0500) -- (4.0320,0.0354) -- (4.0173,-0.0000) -- (4.0320,-0.0354) -- (4.0673,-0.0500) -- (4.1027,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](3.9548,0.0000) -- (3.9401,0.0354) -- (3.9048,0.0500) -- (3.8694,0.0354) -- (3.8548,0.0000) -- (3.8694,-0.0354) -- (3.9048,-0.0500) -- (3.9401,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](4.1173,-0.0000) -- (4.1027,0.0354) -- (4.0673,0.0500) -- (4.0320,0.0354) -- (4.0173,-0.0000) -- (4.0320,-0.0354) -- (4.0673,-0.0500) -- (4.1027,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](4.0500,0.0000) -- (4.0354,0.0354) -- (4.0000,0.0500) -- (3.9646,0.0354) -- (3.9500,0.0000) -- (3.9646,-0.0354) -- (4.0000,-0.0500) -- (4.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](3.9827,0.0000) -- (3.9680,0.0354) -- (3.9327,0.0500) -- (3.8973,0.0354) -- (3.8827,0.0000) -- (3.8973,-0.0354) -- (3.9327,-0.0500) -- (3.9680,-0.0354) -- cycle;
\node [right, black] at (4.0952,0.0000) {0};
\node [above, black] at (3.9327,0.0000) {1};
\node [below, black] at (4.0000,0.0000) {2};
\node [above, black] at (4.0673,-0.0000) {3};
\node [left, black] at (3.9048,0.0000) {4};
\node [below, black] at (4.0673,-0.0000) {5};
\node [above, black] at (4.0000,0.0000) {6};
\node [below, black] at (3.9327,0.0000) {7};
\draw [black, thick](4.0952,0.0000) -- (3.9327,0.0000) -- (4.0000,0.0000) -- (4.0673,-0.0000) -- (3.9048,0.0000) -- (4.0673,-0.0000) -- (4.0000,0.0000) -- (3.9327,0.0000) -- cycle;
\draw [black, fill](8.2405,0.0000) -- (8.2258,0.0354) -- (8.1905,0.0500) -- (8.1551,0.0354) -- (8.1405,0.0000) -- (8.1551,-0.0354) -- (8.1905,-0.0500) -- (8.2258,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](7.9153,0.0000) -- (7.9007,0.0354) -- (7.8653,0.0500) -- (7.8300,0.0354) -- (7.8153,0.0000) -- (7.8300,-0.0354) -- (7.8653,-0.0500) -- (7.9007,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](8.0500,0.0000) -- (8.0354,0.0354) -- (8.0000,0.0500) -- (7.9646,0.0354) -- (7.9500,0.0000) -- (7.9646,-0.0354) -- (8.0000,-0.0500) -- (8.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](8.1847,-0.0000) -- (8.1700,0.0354) -- (8.1347,0.0500) -- (8.0993,0.0354) -- (8.0847,-0.0000) -- (8.0993,-0.0354) -- (8.1347,-0.0500) -- (8.1700,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](7.8595,0.0000) -- (7.8449,0.0354) -- (7.8095,0.0500) -- (7.7742,0.0354) -- (7.7595,0.0000) -- (7.7742,-0.0354) -- (7.8095,-0.0500) -- (7.8449,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](8.1847,-0.0000) -- (8.1700,0.0354) -- (8.1347,0.0500) -- (8.0993,0.0354) -- (8.0847,-0.0000) -- (8.0993,-0.0354) -- (8.1347,-0.0500) -- (8.1700,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](8.0500,0.0000) -- (8.0354,0.0354) -- (8.0000,0.0500) -- (7.9646,0.0354) -- (7.9500,0.0000) -- (7.9646,-0.0354) -- (8.0000,-0.0500) -- (8.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](7.9153,0.0000) -- (7.9007,0.0354) -- (7.8653,0.0500) -- (7.8300,0.0354) -- (7.8153,0.0000) -- (7.8300,-0.0354) -- (7.8653,-0.0500) -- (7.9007,-0.0354) -- cycle;
\node [right, black] at (8.1905,0.0000) {0};
\node [above, black] at (7.8653,0.0000) {1};
\node [below, black] at (8.0000,0.0000) {2};
\node [above, black] at (8.1347,-0.0000) {3};
\node [left, black] at (7.8095,0.0000) {4};
\node [below, black] at (8.1347,-0.0000) {5};
\node [above, black] at (8.0000,0.0000) {6};
\node [below, black] at (7.8653,0.0000) {7};
\draw [black, thick](8.1905,0.0000) -- (7.8653,0.0000) -- (8.0000,0.0000) -- (8.1347,-0.0000) -- (7.8095,0.0000) -- (8.1347,-0.0000) -- (8.0000,0.0000) -- (7.8653,0.0000) -- cycle;
\draw [black, fill](12.3357,0.0000) -- (12.3211,0.0354) -- (12.2857,0.0500) -- (12.2504,0.0354) -- (12.2357,0.0000) -- (12.2504,-0.0354) -- (12.2857,-0.0500) -- (12.3211,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](11.8480,0.0000) -- (11.8333,0.0354) -- (11.7980,0.0500) -- (11.7626,0.0354) -- (11.7480,0.0000) -- (11.7626,-0.0354) -- (11.7980,-0.0500) -- (11.8333,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](12.0500,0.0000) -- (12.0354,0.0354) -- (12.0000,0.0500) -- (11.9646,0.0354) -- (11.9500,0.0000) -- (11.9646,-0.0354) -- (12.0000,-0.0500) -- (12.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](12.2520,-0.0000) -- (12.2374,0.0354) -- (12.2020,0.0500) -- (12.1667,0.0354) -- (12.1520,-0.0000) -- (12.1667,-0.0354) -- (12.2020,-0.0500) -- (12.2374,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](11.7643,0.0000) -- (11.7496,0.0354) -- (11.7143,0.0500) -- (11.6789,0.0354) -- (11.6643,0.0000) -- (11.6789,-0.0354) -- (11.7143,-0.0500) -- (11.7496,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](12.2520,-0.0000) -- (12.2374,0.0354) -- (12.2020,0.0500) -- (12.1667,0.0354) -- (12.1520,-0.0000) -- (12.1667,-0.0354) -- (12.2020,-0.0500) -- (12.2374,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](12.0500,0.0000) -- (12.0354,0.0354) -- (12.0000,0.0500) -- (11.9646,0.0354) -- (11.9500,0.0000) -- (11.9646,-0.0354) -- (12.0000,-0.0500) -- (12.0354,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](11.8480,0.0000) -- (11.8333,0.0354) -- (11.7980,0.0500) -- (11.7626,0.0354) -- (11.7480,0.0000) -- (11.7626,-0.0354) -- (11.7980,-0.0500) -- (11.8333,-0.0354) -- cycle;
\node [right, black] at (12.2857,0.0000) {0};
\node [above, black] at (11.7980,0.0000) {1};
\node [below, black] at (12.0000,0.0000) {2};
\node [above, black] at (12.2020,-0.0000) {3};
\node [left, black] at (11.7143,0.0000) {4};
\node [below, black] at (12.2020,-0.0000) {5};
\node [above, black] at (12.0000,0.0000) {6};
\node [below, black] at (11.7980,0.0000) {7};
\draw [black, thick](12.2857,0.0000) -- (11.7980,0.0000) -- (12.0000,0.0000) -- (12.2020,-0.0000) -- (11.7143,0.0000) -- (12.2020,-0.0000) -- (12.0000,0.0000) -- (11.7980,0.0000) -- cycle;
\draw [gray, fill](1.0500,-8.0000) -- (1.0354,-7.9646) -- (1.0000,-7.9500) -- (0.9646,-7.9646) -- (0.9500,-8.0000) -- (0.9646,-8.0354) -- (1.0000,-8.0500) -- (1.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](0.0500,-2.7574) -- (0.0354,-2.7220) -- (0.0000,-2.7074) -- (-0.0354,-2.7220) -- (-0.0500,-2.7574) -- (-0.0354,-2.7927) -- (0.0000,-2.8074) -- (0.0354,-2.7927) -- cycle;
\draw [gray, fill](-0.9500,-2.0000) -- (-0.9646,-1.9646) -- (-1.0000,-1.9500) -- (-1.0354,-1.9646) -- (-1.0500,-2.0000) -- (-1.0354,-2.0354) -- (-1.0000,-2.0500) -- (-0.9646,-2.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](0.0500,-4.7574) -- (0.0354,-4.7220) -- (-0.0000,-4.7074) -- (-0.0354,-4.7220) -- (-0.0500,-4.7574) -- (-0.0354,-4.7927) -- (-0.0000,-4.8074) -- (0.0354,-4.7927) -- cycle;
\draw [gray, fill](1.0500,-8.0000) -- (1.0354,-7.9646) -- (1.0000,-7.9500) -- (0.9646,-7.9646) -- (0.9500,-8.0000) -- (0.9646,-8.0354) -- (1.0000,-8.0500) -- (1.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](0.0500,-11.2426) -- (0.0354,-11.2073) -- (-0.0000,-11.1926) -- (-0.0354,-11.2073) -- (-0.0500,-11.2426) -- (-0.0354,-11.2780) -- (-0.0000,-11.2926) -- (0.0354,-11.2780) -- cycle;
\draw [gray, fill](-0.9500,-14.0000) -- (-0.9646,-13.9646) -- (-1.0000,-13.9500) -- (-1.0354,-13.9646) -- (-1.0500,-14.0000) -- (-1.0354,-14.0354) -- (-1.0000,-14.0500) -- (-0.9646,-14.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](0.0500,-13.2426) -- (0.0354,-13.2073) -- (-0.0000,-13.1926) -- (-0.0354,-13.2073) -- (-0.0500,-13.2426) -- (-0.0354,-13.2780) -- (-0.0000,-13.2926) -- (0.0354,-13.2780) -- cycle;
\draw [gray, thin](1.0000,-8.0000) -- (0.0000,-2.7574) -- (-1.0000,-2.0000) -- (-0.0000,-4.7574) -- (1.0000,-8.0000) -- (-0.0000,-11.2426) -- (-1.0000,-14.0000) -- (-0.0000,-13.2426) -- cycle;
\draw [gray, fill](5.0500,-8.0000) -- (5.0354,-7.9646) -- (5.0000,-7.9500) -- (4.9646,-7.9646) -- (4.9500,-8.0000) -- (4.9646,-8.0354) -- (5.0000,-8.0500) -- (5.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](4.0500,-2.7574) -- (4.0354,-2.7220) -- (4.0000,-2.7074) -- (3.9646,-2.7220) -- (3.9500,-2.7574) -- (3.9646,-2.7927) -- (4.0000,-2.8074) -- (4.0354,-2.7927) -- cycle;
\draw [gray, fill](3.0500,-2.0000) -- (3.0354,-1.9646) -- (3.0000,-1.9500) -- (2.9646,-1.9646) -- (2.9500,-2.0000) -- (2.9646,-2.0354) -- (3.0000,-2.0500) -- (3.0354,-2.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](4.0500,-4.7574) -- (4.0354,-4.7220) -- (4.0000,-4.7074) -- (3.9646,-4.7220) -- (3.9500,-4.7574) -- (3.9646,-4.7927) -- (4.0000,-4.8074) -- (4.0354,-4.7927) -- cycle;
\draw [gray, fill](5.0500,-8.0000) -- (5.0354,-7.9646) -- (5.0000,-7.9500) -- (4.9646,-7.9646) -- (4.9500,-8.0000) -- (4.9646,-8.0354) -- (5.0000,-8.0500) -- (5.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](4.0500,-11.2426) -- (4.0354,-11.2073) -- (4.0000,-11.1926) -- (3.9646,-11.2073) -- (3.9500,-11.2426) -- (3.9646,-11.2780) -- (4.0000,-11.2926) -- (4.0354,-11.2780) -- cycle;
\draw [gray, fill](3.0500,-14.0000) -- (3.0354,-13.9646) -- (3.0000,-13.9500) -- (2.9646,-13.9646) -- (2.9500,-14.0000) -- (2.9646,-14.0354) -- (3.0000,-14.0500) -- (3.0354,-14.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](4.0500,-13.2426) -- (4.0354,-13.2073) -- (4.0000,-13.1926) -- (3.9646,-13.2073) -- (3.9500,-13.2426) -- (3.9646,-13.2780) -- (4.0000,-13.2926) -- (4.0354,-13.2780) -- cycle;
\draw [gray, thin](5.0000,-8.0000) -- (4.0000,-2.7574) -- (3.0000,-2.0000) -- (4.0000,-4.7574) -- (5.0000,-8.0000) -- (4.0000,-11.2426) -- (3.0000,-14.0000) -- (4.0000,-13.2426) -- cycle;
\draw [gray, fill](9.0500,-8.0000) -- (9.0354,-7.9646) -- (9.0000,-7.9500) -- (8.9646,-7.9646) -- (8.9500,-8.0000) -- (8.9646,-8.0354) -- (9.0000,-8.0500) -- (9.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](8.0500,-2.7574) -- (8.0354,-2.7220) -- (8.0000,-2.7074) -- (7.9646,-2.7220) -- (7.9500,-2.7574) -- (7.9646,-2.7927) -- (8.0000,-2.8074) -- (8.0354,-2.7927) -- cycle;
\draw [gray, fill](7.0500,-2.0000) -- (7.0354,-1.9646) -- (7.0000,-1.9500) -- (6.9646,-1.9646) -- (6.9500,-2.0000) -- (6.9646,-2.0354) -- (7.0000,-2.0500) -- (7.0354,-2.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](8.0500,-4.7574) -- (8.0354,-4.7220) -- (8.0000,-4.7074) -- (7.9646,-4.7220) -- (7.9500,-4.7574) -- (7.9646,-4.7927) -- (8.0000,-4.8074) -- (8.0354,-4.7927) -- cycle;
\draw [gray, fill](9.0500,-8.0000) -- (9.0354,-7.9646) -- (9.0000,-7.9500) -- (8.9646,-7.9646) -- (8.9500,-8.0000) -- (8.9646,-8.0354) -- (9.0000,-8.0500) -- (9.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](8.0500,-11.2426) -- (8.0354,-11.2073) -- (8.0000,-11.1926) -- (7.9646,-11.2073) -- (7.9500,-11.2426) -- (7.9646,-11.2780) -- (8.0000,-11.2926) -- (8.0354,-11.2780) -- cycle;
\draw [gray, fill](7.0500,-14.0000) -- (7.0354,-13.9646) -- (7.0000,-13.9500) -- (6.9646,-13.9646) -- (6.9500,-14.0000) -- (6.9646,-14.0354) -- (7.0000,-14.0500) -- (7.0354,-14.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](8.0500,-13.2426) -- (8.0354,-13.2073) -- (8.0000,-13.1926) -- (7.9646,-13.2073) -- (7.9500,-13.2426) -- (7.9646,-13.2780) -- (8.0000,-13.2926) -- (8.0354,-13.2780) -- cycle;
\draw [gray, thin](9.0000,-8.0000) -- (8.0000,-2.7574) -- (7.0000,-2.0000) -- (8.0000,-4.7574) -- (9.0000,-8.0000) -- (8.0000,-11.2426) -- (7.0000,-14.0000) -- (8.0000,-13.2426) -- cycle;
\draw [gray, fill](13.0500,-8.0000) -- (13.0354,-7.9646) -- (13.0000,-7.9500) -- (12.9646,-7.9646) -- (12.9500,-8.0000) -- (12.9646,-8.0354) -- (13.0000,-8.0500) -- (13.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](12.0500,-2.7574) -- (12.0354,-2.7220) -- (12.0000,-2.7074) -- (11.9646,-2.7220) -- (11.9500,-2.7574) -- (11.9646,-2.7927) -- (12.0000,-2.8074) -- (12.0354,-2.7927) -- cycle;
\draw [gray, fill](11.0500,-2.0000) -- (11.0354,-1.9646) -- (11.0000,-1.9500) -- (10.9646,-1.9646) -- (10.9500,-2.0000) -- (10.9646,-2.0354) -- (11.0000,-2.0500) -- (11.0354,-2.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](12.0500,-4.7574) -- (12.0354,-4.7220) -- (12.0000,-4.7074) -- (11.9646,-4.7220) -- (11.9500,-4.7574) -- (11.9646,-4.7927) -- (12.0000,-4.8074) -- (12.0354,-4.7927) -- cycle;
\draw [gray, fill](13.0500,-8.0000) -- (13.0354,-7.9646) -- (13.0000,-7.9500) -- (12.9646,-7.9646) -- (12.9500,-8.0000) -- (12.9646,-8.0354) -- (13.0000,-8.0500) -- (13.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](12.0500,-11.2426) -- (12.0354,-11.2073) -- (12.0000,-11.1926) -- (11.9646,-11.2073) -- (11.9500,-11.2426) -- (11.9646,-11.2780) -- (12.0000,-11.2926) -- (12.0354,-11.2780) -- cycle;
\draw [gray, fill](11.0500,-14.0000) -- (11.0354,-13.9646) -- (11.0000,-13.9500) -- (10.9646,-13.9646) -- (10.9500,-14.0000) -- (10.9646,-14.0354) -- (11.0000,-14.0500) -- (11.0354,-14.0354) -- cycle;
\draw [gray, fill](12.0500,-13.2426) -- (12.0354,-13.2073) -- (12.0000,-13.1926) -- (11.9646,-13.2073) -- (11.9500,-13.2426) -- (11.9646,-13.2780) -- (12.0000,-13.2926) -- (12.0354,-13.2780) -- cycle;
\draw [gray, thin](13.0000,-8.0000) -- (12.0000,-2.7574) -- (11.0000,-2.0000) -- (12.0000,-4.7574) -- (13.0000,-8.0000) -- (12.0000,-11.2426) -- (11.0000,-14.0000) -- (12.0000,-13.2426) -- cycle;
\draw [black, fill](1.0500,-8.0000) -- (1.0354,-7.9646) -- (1.0000,-7.9500) -- (0.9646,-7.9646) -- (0.9500,-8.0000) -- (0.9646,-8.0354) -- (1.0000,-8.0500) -- (1.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,-2.7574) -- (0.0354,-2.7220) -- (0.0000,-2.7074) -- (-0.0354,-2.7220) -- (-0.0500,-2.7574) -- (-0.0354,-2.7927) -- (0.0000,-2.8074) -- (0.0354,-2.7927) -- cycle;
\draw [black, fill](-0.9500,-2.0000) -- (-0.9646,-1.9646) -- (-1.0000,-1.9500) -- (-1.0354,-1.9646) -- (-1.0500,-2.0000) -- (-1.0354,-2.0354) -- (-1.0000,-2.0500) -- (-0.9646,-2.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,-4.7574) -- (0.0354,-4.7220) -- (-0.0000,-4.7074) -- (-0.0354,-4.7220) -- (-0.0500,-4.7574) -- (-0.0354,-4.7927) -- (-0.0000,-4.8074) -- (0.0354,-4.7927) -- cycle;
\draw [black, fill](1.0500,-8.0000) -- (1.0354,-7.9646) -- (1.0000,-7.9500) -- (0.9646,-7.9646) -- (0.9500,-8.0000) -- (0.9646,-8.0354) -- (1.0000,-8.0500) -- (1.0354,-8.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,-11.2426) -- (0.0354,-11.2073) -- (-0.0000,-11.1926) -- (-0.0354,-11.2073) -- (-0.0500,-11.2426) -- (-0.0354,-11.2780) -- (-0.0000,-11.2926) -- (0.0354,-11.2780) -- cycle;
\draw [black, fill](-0.9500,-14.0000) -- (-0.9646,-13.9646) -- (-1.0000,-13.9500) -- (-1.0354,-13.9646) -- (-1.0500,-14.0000) -- (-1.0354,-14.0354) -- (-1.0000,-14.0500) -- (-0.9646,-14.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.0500,-13.2426) -- (0.0354,-13.2073) -- (-0.0000,-13.1926) -- (-0.0354,-13.2073) -- (-0.0500,-13.2426) -- (-0.0354,-13.2780) -- (-0.0000,-13.2926) -- (0.0354,-13.2780) -- cycle;
\node [right, black] at (1.0000,-8.0000) {0};
\node [right, black] at (0.0000,-2.7574) {1};
\node [above, black] at (-1.0000,-2.0000) {2};
\node [left, black] at (-0.0000,-4.7574) {3};
\node [left, black] at (1.0000,-8.0000) {4};
\node [left, black] at (-0.0000,-11.2426) {5};
\node [below, black] at (-1.0000,-14.0000) {6};
\node [right, black] at (-0.0000,-13.2426) {7};
\draw [black, thick](1.0000,-8.0000) -- (0.0000,-2.7574) -- (-1.0000,-2.0000) -- (-0.0000,-4.7574) -- (1.0000,-8.0000) -- (-0.0000,-11.2426) -- (-1.0000,-14.0000) -- (-0.0000,-13.2426) -- cycle;
\draw [black, fill](5.1452,-8.0000) -- (5.1306,-7.9646) -- (5.0952,-7.9500) -- (5.0599,-7.9646) -- (5.0452,-8.0000) -- (5.0599,-8.0354) -- (5.0952,-8.0500) -- (5.1306,-8.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](3.9827,-2.7574) -- (3.9680,-2.7220) -- (3.9327,-2.7074) -- (3.8973,-2.7220) -- (3.8827,-2.7574) -- (3.8973,-2.7927) -- (3.9327,-2.8074) -- (3.9680,-2.7927) -- cycle;
\draw [black, fill](3.0500,-2.0000) -- (3.0354,-1.9646) -- (3.0000,-1.9500) -- (2.9646,-1.9646) -- (2.9500,-2.0000) -- (2.9646,-2.0354) -- (3.0000,-2.0500) -- (3.0354,-2.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](4.1173,-4.7574) -- (4.1027,-4.7220) -- (4.0673,-4.7074) -- (4.0320,-4.7220) -- (4.0173,-4.7574) -- (4.0320,-4.7927) -- (4.0673,-4.8074) -- (4.1027,-4.7927) -- cycle;
\draw [black, fill](4.9548,-8.0000) -- (4.9401,-7.9646) -- (4.9048,-7.9500) -- (4.8694,-7.9646) -- (4.8548,-8.0000) -- (4.8694,-8.0354) -- (4.9048,-8.0500) -- (4.9401,-8.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](4.1173,-11.2426) -- (4.1027,-11.2073) -- (4.0673,-11.1926) -- (4.0320,-11.2073) -- (4.0173,-11.2426) -- (4.0320,-11.2780) -- (4.0673,-11.2926) -- (4.1027,-11.2780) -- cycle;
\draw [black, fill](3.0500,-14.0000) -- (3.0354,-13.9646) -- (3.0000,-13.9500) -- (2.9646,-13.9646) -- (2.9500,-14.0000) -- (2.9646,-14.0354) -- (3.0000,-14.0500) -- (3.0354,-14.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](3.9827,-13.2426) -- (3.9680,-13.2073) -- (3.9327,-13.1926) -- (3.8973,-13.2073) -- (3.8827,-13.2426) -- (3.8973,-13.2780) -- (3.9327,-13.2926) -- (3.9680,-13.2780) -- cycle;
\node [right, black] at (5.0952,-8.0000) {0};
\node [right, black] at (3.9327,-2.7574) {1};
\node [above, black] at (3.0000,-2.0000) {2};
\node [left, black] at (4.0673,-4.7574) {3};
\node [left, black] at (4.9048,-8.0000) {4};
\node [left, black] at (4.0673,-11.2426) {5};
\node [below, black] at (3.0000,-14.0000) {6};
\node [right, black] at (3.9327,-13.2426) {7};
\draw [black, thick](5.0952,-8.0000) -- (3.9327,-2.7574) -- (3.0000,-2.0000) -- (4.0673,-4.7574) -- (4.9048,-8.0000) -- (4.0673,-11.2426) -- (3.0000,-14.0000) -- (3.9327,-13.2426) -- cycle;
\draw [black, fill](9.2405,-8.0000) -- (9.2258,-7.9646) -- (9.1905,-7.9500) -- (9.1551,-7.9646) -- (9.1405,-8.0000) -- (9.1551,-8.0354) -- (9.1905,-8.0500) -- (9.2258,-8.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](7.9153,-2.7574) -- (7.9007,-2.7220) -- (7.8653,-2.7074) -- (7.8300,-2.7220) -- (7.8153,-2.7574) -- (7.8300,-2.7927) -- (7.8653,-2.8074) -- (7.9007,-2.7927) -- cycle;
\draw [black, fill](7.0500,-2.0000) -- (7.0354,-1.9646) -- (7.0000,-1.9500) -- (6.9646,-1.9646) -- (6.9500,-2.0000) -- (6.9646,-2.0354) -- (7.0000,-2.0500) -- (7.0354,-2.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](8.1847,-4.7574) -- (8.1700,-4.7220) -- (8.1347,-4.7074) -- (8.0993,-4.7220) -- (8.0847,-4.7574) -- (8.0993,-4.7927) -- (8.1347,-4.8074) -- (8.1700,-4.7927) -- cycle;
\draw [black, fill](8.8595,-8.0000) -- (8.8449,-7.9646) -- (8.8095,-7.9500) -- (8.7742,-7.9646) -- (8.7595,-8.0000) -- (8.7742,-8.0354) -- (8.8095,-8.0500) -- (8.8449,-8.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](8.1847,-11.2426) -- (8.1700,-11.2073) -- (8.1347,-11.1926) -- (8.0993,-11.2073) -- (8.0847,-11.2426) -- (8.0993,-11.2780) -- (8.1347,-11.2926) -- (8.1700,-11.2780) -- cycle;
\draw [black, fill](7.0500,-14.0000) -- (7.0354,-13.9646) -- (7.0000,-13.9500) -- (6.9646,-13.9646) -- (6.9500,-14.0000) -- (6.9646,-14.0354) -- (7.0000,-14.0500) -- (7.0354,-14.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](7.9153,-13.2426) -- (7.9007,-13.2073) -- (7.8653,-13.1926) -- (7.8300,-13.2073) -- (7.8153,-13.2426) -- (7.8300,-13.2780) -- (7.8653,-13.2926) -- (7.9007,-13.2780) -- cycle;
\node [right, black] at (9.1905,-8.0000) {0};
\node [right, black] at (7.8653,-2.7574) {1};
\node [above, black] at (7.0000,-2.0000) {2};
\node [left, black] at (8.1347,-4.7574) {3};
\node [left, black] at (8.8095,-8.0000) {4};
\node [left, black] at (8.1347,-11.2426) {5};
\node [below, black] at (7.0000,-14.0000) {6};
\node [right, black] at (7.8653,-13.2426) {7};
\draw [black, thick](9.1905,-8.0000) -- (7.8653,-2.7574) -- (7.0000,-2.0000) -- (8.1347,-4.7574) -- (8.8095,-8.0000) -- (8.1347,-11.2426) -- (7.0000,-14.0000) -- (7.8653,-13.2426) -- cycle;
\draw [black, fill](13.3357,-8.0000) -- (13.3211,-7.9646) -- (13.2857,-7.9500) -- (13.2504,-7.9646) -- (13.2357,-8.0000) -- (13.2504,-8.0354) -- (13.2857,-8.0500) -- (13.3211,-8.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](11.8480,-2.7574) -- (11.8333,-2.7220) -- (11.7980,-2.7074) -- (11.7626,-2.7220) -- (11.7480,-2.7574) -- (11.7626,-2.7927) -- (11.7980,-2.8074) -- (11.8333,-2.7927) -- cycle;
\draw [black, fill](11.0500,-2.0000) -- (11.0354,-1.9646) -- (11.0000,-1.9500) -- (10.9646,-1.9646) -- (10.9500,-2.0000) -- (10.9646,-2.0354) -- (11.0000,-2.0500) -- (11.0354,-2.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](12.2520,-4.7574) -- (12.2374,-4.7220) -- (12.2020,-4.7074) -- (12.1667,-4.7220) -- (12.1520,-4.7574) -- (12.1667,-4.7927) -- (12.2020,-4.8074) -- (12.2374,-4.7927) -- cycle;
\draw [black, fill](12.7643,-8.0000) -- (12.7496,-7.9646) -- (12.7143,-7.9500) -- (12.6789,-7.9646) -- (12.6643,-8.0000) -- (12.6789,-8.0354) -- (12.7143,-8.0500) -- (12.7496,-8.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](12.2520,-11.2426) -- (12.2374,-11.2073) -- (12.2020,-11.1926) -- (12.1667,-11.2073) -- (12.1520,-11.2426) -- (12.1667,-11.2780) -- (12.2020,-11.2926) -- (12.2374,-11.2780) -- cycle;
\draw [black, fill](11.0500,-14.0000) -- (11.0354,-13.9646) -- (11.0000,-13.9500) -- (10.9646,-13.9646) -- (10.9500,-14.0000) -- (10.9646,-14.0354) -- (11.0000,-14.0500) -- (11.0354,-14.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](11.8480,-13.2426) -- (11.8333,-13.2073) -- (11.7980,-13.1926) -- (11.7626,-13.2073) -- (11.7480,-13.2426) -- (11.7626,-13.2780) -- (11.7980,-13.2926) -- (11.8333,-13.2780) -- cycle;
\node [right, black] at (13.2857,-8.0000) {0};
\node [right, black] at (11.7980,-2.7574) {1};
\node [above, black] at (11.0000,-2.0000) {2};
\node [left, black] at (12.2020,-4.7574) {3};
\node [left, black] at (12.7143,-8.0000) {4};
\node [left, black] at (12.2020,-11.2426) {5};
\node [below, black] at (11.0000,-14.0000) {6};
\node [right, black] at (11.7980,-13.2426) {7};
\draw [black, thick](13.2857,-8.0000) -- (11.7980,-2.7574) -- (11.0000,-2.0000) -- (12.2020,-4.7574) -- (12.7143,-8.0000) -- (12.2020,-11.2426) -- (11.0000,-14.0000) -- (11.7980,-13.2426) -- cycle;
\end{tikzpicture}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Невыпуклый многоугольник
Сообщение15.03.2020, 12:06 
Заслуженный участник


26/05/14
869
Все эти картинки имеют цель убедить вас что $v\left(c, d\right) = \left(v_1 - v_7\right) + c v_2 + c d \left(v_3 + v_5\right), 0 < c \le \frac13, 0 < d \le \frac{c}3$ порождает простой невыпуклый многоугольник.
У меня нет точного доказательства этого факта, но есть идеи как это сделать. Останавливает только объём вычислений, сами вычисления кажутся элементарными.
Неравенство $d \le \frac{c}3$ появилось в последний момент. До того предполагалось что $\left(c, d\right)$ может быть любой парой из небольшого прямоугольника, но, увы, не может. Получился треугольник, для дальнейших рассуждений его хватает.

Введём оператор $\overline{B}$. Он переставляет вершины многоугольника циклически: $n-1 \to 0, 0 \to 1, 1 \to 2, \dots, n-2 \to n-1$.
Собственные вектора $\overline{B}$ и $A$ общие: $v_k=\left(1,\varepsilon_n^k, \varepsilon_n^{2k}, \dots, \varepsilon_n^{\left(n-2\right)k}, \varepsilon_n^{\left(n-1\right)k}\right), k = 0 \dots n-1$,
Собственные значения оператора $\overline{B}$: $\beta_k=\varepsilon_n^{-k}, k = 0 \dots n-1$.

Оператор $\overline{B}$ сохраняет все свойства многоугольника как множества: (не)выпуклость, (не)простоту.

Рассмотрим $\overline{B}A^2\left(v\left(c, d\right)\right)$:
$$\overline{B}A^2\left(v\left(c, d\right)\right) = \overline{B}A^2\left(\left(v_1 - v_7\right) + c v_2 + c d \left(v_3 + v_5\right)\right) = \overline{B}A^2\left(v_1 - v_7\right) + c \overline{B}A^2\left(v_2\right) + c d \overline{B}A^2\left(v_3 + v_5\right) $$
Слагаемые по отдельности:
$$\overline{B}A^2\left(v_1 - v_7\right) = \overline{B}A^2\left(v_1\right) - \overline{B}A^2\left(v_7\right) = \beta_1\lambda_1^2v_1 - \beta_7\lambda_7^2v_7 = \varepsilon_8^{-1}{\left(\frac{1 + \varepsilon_8}2\right)}^2 v_1 - \varepsilon_8^{-7}{\left(\frac{1 + \varepsilon_8^7}2\right)}^2 v_7 =$$$$= \frac{2 + \sqrt{2}}4 \left(v_1 - v_7\right) $$
$$\overline{B}A^2\left(v_2\right) = \beta_2\lambda_2^2v_2 = \varepsilon_8^{-2}{\left(\frac{1 + \varepsilon_8^2}2\right)}^2 v_2 = \frac{v_2}2$$
$$\overline{B}A^2\left(v_3 + v_5\right) = \overline{B}A^2\left(v_3\right) + \overline{B}A^2\left(v_5\right) = \beta_3\lambda_3^2v_3 + \beta_5\lambda_5^2v_5 = \varepsilon_8^{-3}{\left(\frac{1 + \varepsilon_8^3}2\right)}^2 v_3 + \varepsilon_8^{-5}{\left(\frac{1 + \varepsilon_8^5}2\right)}^2 v_5 =$$$$= \frac{2 - \sqrt{2}}4 \left(v_3 + v_5\right) $$
Вся сумма вместе:
$$\overline{B}A^2\left(v\left(c, d\right)\right) = \frac{2 + \sqrt{2}}4 \left(v_1 - v_7\right) + c \frac{v_2}2 + c d \frac{2 - \sqrt{2}}4 \left(v_3 + v_5\right) =$$$$= \frac{2 + \sqrt{2}}4 \left[ \left(v_1 - v_7\right) + \left(2 - \sqrt2\right) c v_2 + \left(3 - 2\sqrt2\right) c d \left(v_3 + v_5\right) \right] =$$$$= \frac{2 + \sqrt{2}}4 \left[ \left(v_1 - v_7\right) + \left(2 - \sqrt2\right) c v_2 + \left(2 - \sqrt2\right) c \frac{2 - \sqrt2}2 d \left(v_3 + v_5\right) \right] =$$$$= \frac{2 + \sqrt{2}}4 v\left(\left(2 - \sqrt2\right) c, \frac{2 - \sqrt2}2 d\right) $$
Оператор $\overline{B}A^2$ отображает пару $\left(c, d\right)$ в $\left(\left(2 - \sqrt2\right) c, \frac{2 - \sqrt2}2 d\right)$. Если исходная пара принадлежала треугольнику ограничений, то и новая тоже попадёт в этот треугольник.

Вывод: предъявлен невыпуклый простой восьмиугольник, который сохраняет эти свойства при отображениях вида $A^{2m}$.
Оставшиеся дыры:
точное доказательство свойств восьмиугольников $v\left(c, d\right), 0 < c \le \frac13, 0 < d \le \frac{c}3$;
доказательство свойств восьмиугольников $A\left(v\left(c, d\right)\right), 0 < c \le \frac13, 0 < d \le \frac{c}3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Невыпуклый многоугольник
Сообщение23.03.2020, 00:28 
Заслуженный участник


26/05/14
869
Напомню что мы рассматриваем восьмиугольник $v\left(c, d\right) = \left(v_1 - v_7\right) + c v_2 + c d \left(v_3 + v_5\right)$:
Требуется предъявить ограничения на $c$ и $d$ при которых многоугольник является простым и невыпуклым.

$$
\begin{tikzpicture}
\draw [black, fill](0.6611,0.0000) -- (0.6465,0.0354) -- (0.6111,0.0500) -- (0.5758,0.0354) -- (0.5611,0.0000) -- (0.5758,-0.0354) -- (0.6111,-0.0500) -- (0.6465,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](-0.0286,2.6213) -- (-0.0432,2.6567) -- (-0.0786,2.6713) -- (-0.1139,2.6567) -- (-0.1286,2.6213) -- (-0.1139,2.5860) -- (-0.0786,2.5713) -- (-0.0432,2.5860) -- cycle;
\draw [black, fill](-0.4500,3.0000) -- (-0.4646,3.0354) -- (-0.5000,3.0500) -- (-0.5354,3.0354) -- (-0.5500,3.0000) -- (-0.5354,2.9646) -- (-0.5000,2.9500) -- (-0.4646,2.9646) -- cycle;
\draw [black, fill](0.1286,1.6213) -- (0.1139,1.6567) -- (0.0786,1.6713) -- (0.0432,1.6567) -- (0.0286,1.6213) -- (0.0432,1.5860) -- (0.0786,1.5713) -- (0.1139,1.5860) -- cycle;
\draw [black, fill](0.4389,-0.0000) -- (0.4242,0.0354) -- (0.3889,0.0500) -- (0.3535,0.0354) -- (0.3389,-0.0000) -- (0.3535,-0.0354) -- (0.3889,-0.0500) -- (0.4242,-0.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](0.1286,-1.6213) -- (0.1139,-1.5860) -- (0.0786,-1.5713) -- (0.0432,-1.5860) -- (0.0286,-1.6213) -- (0.0432,-1.6567) -- (0.0786,-1.6713) -- (0.1139,-1.6567) -- cycle;
\draw [black, fill](-0.4500,-3.0000) -- (-0.4646,-2.9646) -- (-0.5000,-2.9500) -- (-0.5354,-2.9646) -- (-0.5500,-3.0000) -- (-0.5354,-3.0354) -- (-0.5000,-3.0500) -- (-0.4646,-3.0354) -- cycle;
\draw [black, fill](-0.0286,-2.6213) -- (-0.0432,-2.5860) -- (-0.0786,-2.5713) -- (-0.1139,-2.5860) -- (-0.1286,-2.6213) -- (-0.1139,-2.6567) -- (-0.0786,-2.6713) -- (-0.0432,-2.6567) -- cycle;
\node [right, black] at (0.6111,0.0000) {0};
\node [right, black] at (-0.0786,2.6213) {1};
\node [above, black] at (-0.5000,3.0000) {2};
\node [left, black] at (0.0786,1.6213) {3};
\node [left, black] at (0.3889,-0.0000) {4};
\node [left, black] at (0.0786,-1.6213) {5};
\node [below, black] at (-0.5000,-3.0000) {6};
\node [right, black] at (-0.0786,-2.6213) {7};
\draw [black, thick](0.6111,0.0000) -- (-0.0786,2.6213) -- (-0.5000,3.0000) -- (0.0786,1.6213) -- (0.3889,-0.0000) -- (0.0786,-1.6213) -- (-0.5000,-3.0000) -- (-0.0786,-2.6213) -- cycle;
\end{tikzpicture}
$$

Рассмотрим две ломаные: $(p_6, p_7, p_0, p_1, p_2)$ и $(p_2, p_3, p_4, p_5, p_6)$. Я буду доказывать что первая ломаная "правее" второй в следующем смысле: любая горизонтальная прямая проходящая выше $p_6$ и ниже $p_2$ пересекает первую ломаную в точке, абсцисса которой больше абсциссы точки пересечения со второй ломаной.

Координаты вершин:
$$
\begin{tabular}{l|c|c}
i & x_i & y_i \\
\hline
0 & 2cd + c & 0 \\
1 & -\sqrt{2}cd & c + \sqrt{2} \\
2 & -c & 2 \\
3 & \sqrt{2}cd & -c + \sqrt{2} \\
4 & -2cd + c & 0 \\
5 & \sqrt{2} c d & c - \sqrt{2} \\
6 & -c & -2 \\
7 & -\sqrt{2}cd & -c - \sqrt{2}
\end{tabular}
$$

Нужный порядок вершин по вертикали: $y_6 < y_7 < y_5 < y_4 = y_0 < y_3 < y_1 < y_2$.
Приводит к неравенствам: $-2 < -c - \sqrt{2} < c - \sqrt{2} < 0 = 0 < -c + \sqrt{2} < c + \sqrt{2} < 2$.
Откуда $0 < c < 2 - \sqrt{2}$.

Чтобы одна ломаная оказалась "правее" другой требуется чтобы выполнялись условия для вершин. В нашем случае такие:
1. Вершина $p_1$ должна быть "правее" ребра $(p_2, p_3)$.
2. Ребро $(p_0, p_1)$ должнo быть "правее" вершины $p_3$.
3. Вершина $p_0$ должна быть "правее" вершины $p_4$.
4. Ребро $(p_7, p_0)$ должнo быть "правее" вершины $p_5$.
5. Вершина $p_7$ должна быть "правее" ребра $(p_5, p_6)$.

Условия типа ребро-вершина выражается через проверку площади со знаком треугольника натянутого на ребро и вершину. Площадь со знаком считается как определитель матрицы три на три. Определители для условий 1, 2, 4, 5:
1. $\begin{vmatrix}x_{2} & y_{2} & 1\\x_{3} & y_{3} & 1\\x_{1} & y_{1} & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}- c & 2 & 1\\\sqrt{2} c d & - c + \sqrt{2} & 1\\- \sqrt{2} c d & c + \sqrt{2} & 1\end{vmatrix} = 2 c \left(c - 2d \left(\sqrt{2} - 1\right)\right)$

2. $\begin{vmatrix}x_{0} & y_{0} & 1\\x_{1} & y_{1} & 1\\x_{3} & y_{3} & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}2 c d + c & 0 & 1\\- \sqrt{2} c d & c + \sqrt{2} & 1\\\sqrt{2} c d & - c + \sqrt{2} & 1\end{vmatrix} = 2 c \left(c - 2d \left(1 - c\right)\right)$

4. $\begin{vmatrix}x_{7} & y_{7} & 1\\x_{0} & y_{0} & 1\\x_{5} & y_{5} & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}- \sqrt{2} c d & - c - \sqrt{2} & 1\\2 c d + c & 0 & 1\\\sqrt{2} c d & c - \sqrt{2} & 1\end{vmatrix} = 2 c \left(c - 2d \left(1 - c\right)\right)$

5. $\begin{vmatrix}x_{5} & y_{5} & 1\\x_{6} & y_{6} & 1\\x_{7} & y_{7} & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\sqrt{2} c d & c - \sqrt{2} & 1\\- c & -2 & 1\\- \sqrt{2} c d & - c - \sqrt{2} & 1\end{vmatrix} = 2 c \left(c - 2d \left(\sqrt{2} - 1\right)\right)$

Все пять условий:
1. $2c \left(c - 2d \left(\sqrt{2} - 1\right)\right) > 0$
2. $2c \left(c - 2d \left(1 - c\right)\right) > 0$
3. $2cd + c > -2cd + c$
4. $2c \left(c - 2d \left(1 - c\right)\right) > 0$
5. $2c \left(c - 2d \left(\sqrt{2} - 1\right)\right) > 0$

Убираем дупликаты, учитываем что $0 < c < 2 - \sqrt{2}$:
1. $d < \frac{c}{2\left(\sqrt{2} - 1\right)}$
2. $d < \frac{c}{2\left(1 - c\right)}$
3. $d > 0$

Зaметим что если $0 < d < \frac{c}{2}$ то выполнены все три условия выше.

Простота получена. Для невыпуклости достаточно проверить что вершина $p_4$ "правее" отрезка $(p_2, p_6)$. Определитель не понадобится так как $x_2 = x_6$.
Получается условие: $x_2 < x_4$. Откуда $-c < -2cd + c$. Откуда $d < 1$. Это условие выполнено так как $d < \frac{c}{2}$ и $c < 2 - \sqrt{2}$.

Доказано, что при $0 < c < 2 - \sqrt{2}$ и $0 < d < \frac{c}{2}$ восьмиугольник $v\left(c, d\right)$ является простым и невыпуклым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Невыпуклый многоугольник
Сообщение23.03.2020, 14:17 
Заслуженный участник


26/05/14
869
Рассмотрим $A\left(v\left(c, d\right)\right)$. Чтобы уменьшить количество дробей умножим его на два.

$2A\left(v\left(c, d\right)\right)$ в координатах:
$$
\begin{tabular}{l|c|c}
i & x_i & y_i \\
\hline
0 & -\sqrt{2}cd + 2cd + c & c + \sqrt{2} \\
1 & -\sqrt{2}cd - c & c + \sqrt{2} + 2 \\
2 & \sqrt{2}cd - c & -c + \sqrt{2} + 2 \\
3 & -2cd + \sqrt{2}cd + c & -c + \sqrt{2} \\
4 & -2cd + \sqrt{2}cd + c & c - \sqrt{2} \\
5 & \sqrt{2}cd - c & c - 2 - \sqrt{2} \\
6 & -\sqrt{2}cd - c & -c - 2 - \sqrt{2} \\
7 & -\sqrt{2}cd + 2cd + c & -c - \sqrt{2}
\end{tabular}
$$
$$
\begin{tikzpicture}
\draw [black, fill](0.3163,1.3107) -- (0.3016,1.3460) -- (0.2663,1.3607) -- (0.2309,1.3460) -- (0.2163,1.3107) -- (0.2309,1.2753) -- (0.2663,1.2607) -- (0.3016,1.2753) -- cycle;
\draw [black, fill](-0.2393,2.8107) -- (-0.2539,2.8460) -- (-0.2893,2.8607) -- (-0.3246,2.8460) -- (-0.3393,2.8107) -- (-0.3246,2.7753) -- (-0.2893,2.7607) -- (-0.2539,2.7753) -- cycle;
\draw [black, fill](-0.1607,2.3107) -- (-0.1754,2.3460) -- (-0.2107,2.3607) -- (-0.2461,2.3460) -- (-0.2607,2.3107) -- (-0.2461,2.2753) -- (-0.2107,2.2607) -- (-0.1754,2.2753) -- cycle;
\draw [black, fill](0.2837,0.8107) -- (0.2691,0.8460) -- (0.2337,0.8607) -- (0.1984,0.8460) -- (0.1837,0.8107) -- (0.1984,0.7753) -- (0.2337,0.7607) -- (0.2691,0.7753) -- cycle;
\draw [black, fill](0.2837,-0.8107) -- (0.2691,-0.7753) -- (0.2337,-0.7607) -- (0.1984,-0.7753) -- (0.1837,-0.8107) -- (0.1984,-0.8460) -- (0.2337,-0.8607) -- (0.2691,-0.8460) -- cycle;
\draw [black, fill](-0.1607,-2.3107) -- (-0.1754,-2.2753) -- (-0.2107,-2.2607) -- (-0.2461,-2.2753) -- (-0.2607,-2.3107) -- (-0.2461,-2.3460) -- (-0.2107,-2.3607) -- (-0.1754,-2.3460) -- cycle;
\draw [black, fill](-0.2393,-2.8107) -- (-0.2539,-2.7753) -- (-0.2893,-2.7607) -- (-0.3246,-2.7753) -- (-0.3393,-2.8107) -- (-0.3246,-2.8460) -- (-0.2893,-2.8607) -- (-0.2539,-2.8460) -- cycle;
\draw [black, fill](0.3163,-1.3107) -- (0.3016,-1.2753) -- (0.2663,-1.2607) -- (0.2309,-1.2753) -- (0.2163,-1.3107) -- (0.2309,-1.3460) -- (0.2663,-1.3607) -- (0.3016,-1.3460) -- cycle;
\node [right, black] at (0.2663,1.3107) {0};
\node [above, black] at (-0.2893,2.8107) {1};
\node [left, black] at (-0.2107,2.3107) {2};
\node [left, black] at (0.2337,0.8107) {3};
\node [left, black] at (0.2337,-0.8107) {4};
\node [left, black] at (-0.2107,-2.3107) {5};
\node [below, black] at (-0.2893,-2.8107) {6};
\node [right, black] at (0.2663,-1.3107) {7};
\draw [black, thick](0.2663,1.3107) -- (-0.2893,2.8107) -- (-0.2107,2.3107) -- (0.2337,0.8107) -- (0.2337,-0.8107) -- (-0.2107,-2.3107) -- (-0.2893,-2.8107) -- (0.2663,-1.3107) -- cycle;
\end{tikzpicture}
$$

Рассмотрим две ломаные: $(p_6, p_7, p_0, p_1)$ и $(p_1, p_2, p_3, p_4, p_5, p_6)$. Первая должна быть "правее" второй.

Нужный порядок вершин по вертикали: $y_6 < y_5 < y_7 < y_4 < y_3 < y_0 < y_2 < y_1$.
Что приводит к неравенствам: $$-c - 2 - \sqrt{2} < c - 2 - \sqrt{2} < -c - \sqrt{2} < c - \sqrt{2} < -c + \sqrt{2} < c + \sqrt{2} < -c + \sqrt{2} + 2 < c + \sqrt{2} + 2$$.
После упрощения: $0 < c < 1$. Это неравенство выполнено, так как выполнено более строгое $0 < c < 2 - \sqrt{2}$.

Все условия для вершин имеют вид определителей:

$$\begin{vmatrix}x_{6} & y_{6} & 1\\x_{7} & y_{7} & 1\\x_{5} & y_{5} & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}- \sqrt{2} c d - c & - c - 2 - \sqrt{2} & 1\\- \sqrt{2} c d + 2 c d + c & - c - \sqrt{2} & 1\\\sqrt{2} c d - c & c - 2 - \sqrt{2} & 1\end{vmatrix} = 4 c \left(c + d \left(c - \sqrt{2}\right)\right) > 0$$$$\begin{vmatrix}x_{4} & y_{4} & 1\\x_{5} & y_{5} & 1\\x_{7} & y_{7} & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}- 2 c d + \sqrt{2} c d + c & c - \sqrt{2} & 1\\\sqrt{2} c d - c & c - 2 - \sqrt{2} & 1\\- \sqrt{2} c d + 2 c d + c & - c - \sqrt{2} & 1\end{vmatrix} = 4 c \left(c + d \left(- c - \sqrt{2} + 2\right)\right) > 0$$$$\begin{vmatrix}x_{7} & y_{7} & 1\\x_{0} & y_{0} & 1\\x_{4} & y_{4} & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}- \sqrt{2} c d + 2 c d + c & - c - \sqrt{2} & 1\\- \sqrt{2} c d + 2 c d + c & c + \sqrt{2} & 1\\- 2 c d + \sqrt{2} c d + c & c - \sqrt{2} & 1\end{vmatrix} = 4 c d \left(2 - \sqrt{2}\right) \left(c + \sqrt{2}\right) > 0$$$$\begin{vmatrix}x_{7} & y_{7} & 1\\x_{0} & y_{0} & 1\\x_{3} & y_{3} & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}- \sqrt{2} c d + 2 c d + c & - c - \sqrt{2} & 1\\- \sqrt{2} c d + 2 c d + c & c + \sqrt{2} & 1\\- 2 c d + \sqrt{2} c d + c & - c + \sqrt{2} & 1\end{vmatrix} = 4 c d \left(2 - \sqrt{2}\right) \left(c + \sqrt{2}\right) > 0$$$$\begin{vmatrix}x_{2} & y_{2} & 1\\x_{3} & y_{3} & 1\\x_{0} & y_{0} & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\sqrt{2} c d - c & - c + \sqrt{2} + 2 & 1\\- 2 c d + \sqrt{2} c d + c & - c + \sqrt{2} & 1\\- \sqrt{2} c d + 2 c d + c & c + \sqrt{2} & 1\end{vmatrix} = 4 c \left(c + d \left(- c - \sqrt{2} + 2\right)\right) > 0$$$$\begin{vmatrix}x_{0} & y_{0} & 1\\x_{1} & y_{1} & 1\\x_{2} & y_{2} & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}- \sqrt{2} c d + 2 c d + c & c + \sqrt{2} & 1\\- \sqrt{2} c d - c & c + \sqrt{2} + 2 & 1\\\sqrt{2} c d - c & - c + \sqrt{2} + 2 & 1\end{vmatrix} = 4 c \left(c + d \left(c - \sqrt{2}\right)\right) > 0$$

Убираем дупликаты, учитываем что $0 < c < 2 - \sqrt{2}$, получаем $0 < d < \frac{c}{\left(\sqrt{2} - c\right)}$.
Это условие выполняется так как $0 < d < \frac{c}{2}$.

Простота восьмиугольника проверена, осталась невыпуклость. Для неё достаточно убедится что $x_2 > x_1$.
Подстановка показывает что это правда: $\sqrt{2}cd - c > -\sqrt{2}cd - c$.

Доказано, что при $0 < c < 2 - \sqrt{2}$ и $0 < d < \frac{c}{2}$ восьмиугольник $A\left(v\left(c, d\right)\right)$ является простым и невыпуклым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Невыпуклый многоугольник
Сообщение23.03.2020, 21:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9366
Ну, Ок. С какого конца это начинать есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Невыпуклый многоугольник
Сообщение24.03.2020, 14:20 
Заслуженный участник


26/05/14
869
Утундрий в сообщении #1446639 писал(а):
Ну, Ок. С какого конца это начинать есть?

Оглавление
Глава первая, в которой представлено двухпараметрическое семейство восьмиугольников
Глава вторая, в которой показано как действует первый параметр
Глава третья, в которой показано как действует второй параметр
Глава четвёртая, в которой доказывается, что $A^2$ порождает восьмиугольник из того же семейства
Глава пятая, в которой доказывается, что восьмиугольники семейства простые и невыпуклые
Глава шестая, в которой доказывается, что $A$ порождает простые и невыпуклые многоугольники

Из последних трёх глав по индукции следует, что любой восьмиугольник семейства решает пункт б) исходной задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Невыпуклый многоугольник
Сообщение30.03.2020, 14:19 


02/09/10
60
Да, все так, сделано даже больше, чем ожидалось. Хорошая работа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Невыпуклый многоугольник
Сообщение30.03.2020, 15:26 
Заслуженный участник


26/05/14
869
staric, спасибо. Откуда возникла такая задача?

Оставшиеся вопросы:
Может ли семиугольник решить пункт б)? А девятиугольник?
Доказательства тяжёлые и неуклюжие - всё какие-то частные случаи. Есть ли общая теория связывающая линейные операторы и "простоту" многоугольника?

Благодарности:
staric, ещё раз спасибо. Хорошая задача!
Спасибо DeBill за спектр оператора $A$.
Спасибо Jim Fowler (kisonecat) за библиотеку tikzjax, с помощью которой я строил картинки.
Спасибо авторам библиотеки SymPy, которая составляла, решала и печатала неравенства.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group