Метод Лапласа

[Padawan]

В книжке Эрдейи Асимптотические разложения прочитал замечание, что для нахождение асимтотического разложения интеграла Лапласа $\int\limits^a_b g(x)e^{\lambda h(x)} dx$ можно обойтись без нахождения обратной функции $x=x(t)$ к замене $t=h(x_0)-h(x)$ ($x_0$ -- точка максимума функции $h(x)$). Рассмотрим на примере. Пусть надо найти асимптотику интеграла $\int\limits_0^\infty e^{\lambda(\ln x-x)} dx$. Функция $h(x)=\ln x - x$ достигает максимума в точке $x_0=1$,

$$h(x)=-1-\frac 12 (x-1)^2+\frac 13 (x-1)^3-\frac 14 (x-1)^4+\frac{1}{5}(x-1)^5-\ldots$$

$$ \int\limits_{1-\delta}^{1+\delta} e^{\lambda (\ln x - x)} dx=e^{-\lambda}\int\limits_{-\delta}^\delta \exp\left(\lambda\left(\frac 13 z^3-\frac 14 z^4+\frac 15 z^5-\ldots\right)\right) e^{-\frac{\lambda}{2} z^2} dz$$

Далее, функция $f(\lambda,z)=\exp\left(\lambda\left(\frac 13 z^3-\frac 14 z^4+\frac 15 z^5-\ldots\right)\right)$ раскладываеся в ряд по степеням $z$

$$ f(\lambda, z)=1 + \frac 13\lambda z^3 - \frac 14\lambda z^4 + \frac 15\lambda z^5 + \left(\frac{1}{18}\lambda^2 - \frac{1}{6}\lambda\right )z^6 + \left(\frac 17\lambda - \frac {1}{12}\lambda^2\right) z^7 + \left(\frac{47}{480}\lambda^2 - \frac18\lambda\right) z^8 + O(z^9) $$

после этого интеграл $\int\limits_{-\delta}^\delta f(\lambda,z)e^{-\frac{\lambda}{2} z^2} dz$ считается от каждого члена отдельно (применяется лемма Ватсона). Я проверил -- получается правильно. Как бы это обосновать? Либо может в каком-то учебнике этот метод обоснован? Всё-таки, разложить функцию в ряд Тейлора проще, чем находить обращение степенного ряда.