Покажите, что отображение сюръективно

[qw1221]

Покажите, что отображение $f: X \rightarrow Y$ сюръективно, если и только если для любого множества $B' \subset Y$ справедливо $f(f^{-1}(B'))=B'$

Моя попытка:
1. Если функция сюръективна, то выполняется тождество
$\forall y \in B' \exists x \vert f(x) = y $
$x \in f^{-1}(B') \Rightarrow f(x) \in f(f^{-1}(B')) $
$ f(x) \in B' \wedge f(x) \in f(f^{-1}(B')) \Rightarrow f(f^{-1}(B'))=B' $

2. Если выполняется тождество, то функция сюръективна
$f(f^{-1}(B')) = B'$
$x \in f^{-1}(B') \Rightarrow f(x) \in f(f{^{-1}(B'))$
$f(x) \in f(f{^{-1}(B')) \Rightarrow f(x) \in B'$

Всё ли правильно?

[пианист]

А что, собс-но, доказывается в Ваших 1,2?
Вроде в известных мне определениях сюръективности отображения никаких $B'$ не фигурирует..
Это какой-то признак сюръективности использован?

[vadimm]

qw1221 в сообщении #1439505 писал(а):

2. Если выполняется тождество, то ...

Вам нужно доказать, что в этом случае прообраз каждого элемента $y \in Y$ не будет пустым. Ваше доказательство по-моему выглядит иначе.

[Padawan]

Возьмите $B'=Y$. Вообще, для любого отображения справедлива формула $f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$. Докажите ее.

[qw1221]

Padawan в сообщении #1439533 писал(а):

Возьмите $B'=Y$. Вообще, для любого отображения справедлива формула $f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$. Докажите ее.

Доказательство, что $f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$
$f^{-1}(B') \subseteq X$
$f(f^{-1}(B')) = B'$
$B' \subseteq f(X) \Rightarrow B' \cap f(X) = B'$
$f(f^{-1}(B')) = B' \cap f(X)$

Доказательство, что $f(f^{-1}(B'))=B' \Rightarrow f $ - сюръективно
$B' = Y$.
$f(f^{-1}(Y))=Y$
$f^{-1}(Y) \subset X$
Т.е $\forall a \in Y \exists x \in X \vert f(x) =a $

[Padawan]

qw1221 в сообщении #1439585 писал(а):

$f^{-1}(Y) \subset X$

Точнее $f^{-1}(Y) = X$

[qw1221]

Спасибо