Доказать, что матрица кососимметрична

[mehanat]

Пусть матрица $A$ размера $3 \cdot 3$ такова, что для любого вектора столбца $v \in R_\text{3}$ вектора
$Av$ и $v$ ортогональны. Доказать, что $A^T + A = 0$, где $A^T$ транспонированная матрица.

Пытаюсь решить таким образом

$\langle v, Av \rangle = 0$
$\langle v, (A + A^T - A^T)v \rangle = 0$
$\langle v, (A + A^T)v \rangle = \langle v, A^Tv \rangle$

Эти рассуждения меня ни к чему не привели. Подскажите пожалуйста какие еще могут быть идеи.

[svv]

Покрутите $\langle x+y, A(x+y) \rangle$.

[amon]

mehanat в сообщении #1439366 писал(а):

Подскажите пожалуйста какие еще могут быть идеи.

Попробуйте поиграть с $v,$ он ведь произвольный. Пусть у этого вектора какие-то компоненты равны, а оставшаяся - ноль, что будет?

[mehanat]

svv в сообщении #1439369 писал(а):

Покрутите $\langle x+y, A(x+y) \rangle$.

Получается так
$\langle x+y, A(x+y) \rangle$
= $\langle x, Ax \rangle + \langle y, Ay \rangle + \langle y, Ax \rangle + \langle x, Ay \rangle $
= $\langle y, Ax \rangle + \langle x, Ay \rangle = 0$
= $\langle y, Ax \rangle = - \langle x, Ay \rangle $
= $\langle y, Ax \rangle = - \langle Ay, x \rangle $
= $\langle y, Ax \rangle = - \langle y, A^* x \rangle $

Если мы имеем дело с ортонормированным базисом, то $A^* = A^T$ и следовательно
= $\langle y, Ax \rangle = - \langle y, A^T x \rangle $
$A = - A^T$ ч т.д.
В задаче не указано про ортонормированный базис, но, полагаю, это подразумевается

[svv]

mehanat в сообщении #1439375 писал(а):

Если мы имеем дело с ортонормированным базисом, то $A^* = A^T$

Просто потому, что у нас тут всё вещественное.