Квадраты и биквадраты среди остатков по модулю

[nnosipov]

(XXIII Кубок памяти Колмогорова) Дано простое $p \equiv 1 \pmod{8}$. Рассмотрим все остатки $x$ по модулю $p$ такие, что $x$ --- не $4$-я степень, а $x-1$ --- $4$-я степень (по модулю $p$). Докажите, что ровно треть рассмотренных остатков являются квадратами по модулю $p$.

P.S. Указанные количества можно непосредственно подсчитать и тем самым установить нужное соотношение. Нельзя ли найти эту самую пропорцию более естественным способом?

[nnosipov]

Оказывается (сейчас случайно обратил внимание), данная задача является самой первой задачей турнира. По крайней мере, в выложенных файлах эта задача фигурирует как первая задача первого тура в высшей лиге. По моим наивным представлениям, первые задачи не должны быть сложными. Но я совершенно не вижу простого решения, увы. К сожалению, статистика решения задачи также недоступна. Решил ли ее хоть кто-нибудь из школьников?