Два вопроса по программе Wolfram Mathematica.

[Slava]

1. Если в Wolfram Mathematica набрать

In[1] := Sin[I * x],

то получим

Out[1] = I * Sinh[x].

Т. е. если мнимая единица задана явно, то программа вычисляет. А если неявно

In[2] := Sin[Sqrt[1 - x]],

то получим

Out[2] = Sin[Sqrt[1 - x]].

Мне нужно получить результат:

Out[2] = I * Sinh[Sqrt[x - 1]].

В Wolfram Alpha то же самое получается.
Как это сделать? Помогите, пожалуйста.
2. Если в Wolfram Mathematica набрать

In[1] := Sum [(Sin[n ]) ^ 2/  (n ^ 2), {n, 1, Infinity}],

т. е. подсчитать сумму бесконечного ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(\sin(n))^2}{n^2}$
то получим

Out[1]= 1/2 * (-1 + \[Pi]),

т. е. $\frac{\pi-1}{2}.$
В Wolfram Alpha то же самое получается.
А если в Wolfram Mathematica набрать

In[2]:= Sum [(Sin[2  * n ]) ^ 2/  (n ^ 2), {n, 1, Infinity}],

т. е. подсчитать сумму бесконечного ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(\sin(2n))^2}{n^2}$
то получим

Out[2]= 1/12 * (\[Pi]^2 - 3 * PolyLog[2, E^(-4 * I)] - 3 * PolyLog[2, E^(4 * I)]).

В Wolfram Alpha получается

\[Pi] - 2,

т. е. $\pi-2,$
(как альтернативный ответ).
Как сделать, чтобы в Wolfram Mathematica был тот же ответ, что и в Wolfram Alpha? Помогите, пожалуйста.

[Vince Diesel]

1. Естественно вряд ли получится. Математика считает все параметры комплексными. Первая формула верна для любого $x\in \mathbb C$. Вторая же содержит корень, который имеет два значения. Математика такое преобразовывать не будет, даже если явно указать, что подкоренное значение действительно и отрицательно.

2. Sum[(Sin[2n])^2/(n^2), {n, 1, Infinity}] // FullSimplify

[Slava]

Уточню по-первому пункту. Может быть я несколько сумбурно объяснил.
Если найти сумму ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2+n+p}, p>1$ в Wolfram Mathematica, то получим:
$\frac{\pi \tan(\frac{\sqrt{1-4p}\pi}{2})}{\sqrt{1-4p}}$

Sum [1/ (n ^ 2 + n + p), {n, 0, Infinity}],

(\[Pi] * Tan[1/2 * Sqrt[1 - 4 * p] * \[Pi]])/Sqrt[1 - 4 * p].

В Wolfram Alpha так вычислить с параметром не получится. Но если подставить вместо $p$ конкретные числа $2, 3, ...$, то можно заметить закономерность и выписать формулу с параметром:
$\frac{\pi \tanh{\frac{\pi\sqrt{4p-1}}{2}}}{\sqrt{4p-1}}$.
Кстати, если в Wolfram Mathematica так же подставлять вместо $p$ конкретные числа $2, 3, ...$, то получим ту же формулу, т. е. с тангенсом гиперболическим.
Почему в одном случае Wolfram Mathematica выбирает функцию тангенс, а в другом тангенс гиперболический?

[Vince Diesel]

Потому и не упрощает, что есть корень, а у него два значения. В первом упрощает, поскольку знает, что аргумент мнимый.

Так получается:

FullSimplify[Sum[1/(n^2 + n + p), {n, 0, Infinity}], p > 1/4]

[Slava]

Все получилось. Большое Вам спасибо.