Рациональные решения 2*(x*y+1)*(x-y) = (x+y)*z^2

[Volik]

Доброго дня всем! Можно ли найти хоть одно рациональное решение уравнения $2 \cdot (x \cdot y+1) \cdot (x-y)=z^2 \cdot (x+y)$ где ни одно из $(x, y, z) \neq 0, \pm 1$
Если кто то такое решение найдет, то мы, скорее всего, совместно построим совершенный кубоид.
Если кто то сможет доказать что таких решений нет, то буду чрезмерно благодарен за вклад в доказательство его невозможности.
Всем заранее спасибо за внимание

[waxtep]

Даже целое можно: $x=12,y=4,z=7$

[Volik]

Огромное спасибо! Завтра буду разбираться! (обессилел)

[Someone]

Вообще-то, целочисленных решений довольно много. Вот четвёртая часть всех решений, в которых $-100\leqslant x\leqslant 100$ и $-100\leqslant y\leqslant 100$.
Чтобы получить все решения, нужно во всех перечисленных решениях поменять знак у $z$, а затем в полученном двойном списке во всех решениях поменять знаки одновременно у $x$ и $y$.

\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & y & z \\ \hline -57 & 71 & 272 \\ -57 & 73 & 260 \\ -19 & 31 & 70 \\ -19 & 79 & 70 \\ -17 & 41 & 58 \\ -9 & 73 & 41 \\ -3 & 7 & 10 \\ 9 & 7 & 4 \\ 12 & 4 & 7 \\ 17 & 7 & 10 \\ 19 & 17 & 6 \\ 33 & 31 & 8 \\ 45 & 15 & 26 \\ 51 & 49 & 10 \\ 57 & 7 & 25 \\ 73 & 71 & 12 \\ 77 & 7 & 30 \\ 99 & 21 & 52 \\ 99 & 41 & 58 \\ 99 & 97 & 14 \\ \hline \end{array}

[Volik]

Так же, спасибо! Но, оказалось, что любое решение исходного уравнения дает только необходимое , но не достаточное условие существования общего корня трех многочленов второго порядка. То есть, каждое решение гарантирует, что каждая пара из трех имеет общий корень, но не общий корень для трех. Например: $(t-t_1) \cdot (t-t_2)=0, (t-t_1) \cdot (t-t_3)=0, (t-t_3) \cdot (t-t_2)=0$
Еще раз спасибо, но я не смогу использовать Ваши результаты для кубоида.

[Someone]

Volik в сообщении #1438827 писал(а):

я не смогу использовать Ваши результаты для кубоида.

Я и не рассчитывал. Я в курсе, что рациональный кубоид ищут уже много лет, и обилие небольших решений вашего уравнения прямо наталкивает на мысль, что этих решений, скорее всего, недостаточно (но я бы всё-таки проверил на всякий случай). Думаю, что программу, генерирующую и проверяющую эти решения, написать нетрудно. Вдруг повезёт? (Не очень в это верю.)

[Volik]

Спасибо за совет (хоть и с сомнением). Как некто говорил "Будем искать"

[Andrey A]

(Оффтоп)

Volik в сообщении #1438870 писал(а):

Как некто говорил "Будем искать"

Ну да. Такой же, только с перламутровыми пуговицами, Вы мне в позапрошлом году тоже обещали. Но и я не рассчитывалЪ.