Как найти предел?

[andreyka]

Как найти предел
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}=1/e$
Намекните, каким методом можно решить.

[Pphantom]

Формула Стирлинга.

P.S. Правда, я не уверен, что это "законно" при изучении пределов последовательностей.

[vpb]

Pphantom в сообщении #1438648 писал(а):

я не уверен, что это "законно" при изучении пределов последовательностей.

Вполне. Только это задача не по теме "пределы последовательностей", а по теме "Формула Стирлинга". В Демидовиче есть параграф "Формула Стирлинга", там как раз несколько задач такого типа.

[Otta]

andreyka
По-разному можно. Можно выписать подходящий степенной ряд с нужными коэффициентами, например, и найти его радиус сходимости. Двумя способами. Можно "подпилить" до интегральной суммы. Там неприятность: соответствующий интеграл несобственный, хоть и сходящийся, так что будет некая возня. Можно и формулой Стирлинга, хотя это из пушек по воробьям. Наверняка еще как-то можно. Смотря что дают делать и что уже известно.

Upd: О, еще способ сочинила.

[bot]

vpb в сообщении #1438651 писал(а):

Только это задача не по теме "пределы последовательностей"

В параграфе "Понятие предела" Демидовича это предел стоит под номером 142 сразу за номером 141.

[vpb]

bot в сообщении #1438653 писал(а):

это предел стоит под номером 142 сразу за номером 141.

А, вот оно что ! Тогда подсказка такая: ввести $y_n=n!/n^n$, найти предел $y_n/y_{n+1}$, и применить номер 141.

[Wirus]

Попробуйте показать, что $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\ln 1+\ln 2+\ldots+\ln n}{n}-\ln n = -1$ с помощью интеграла от функции $\ln x$.