я не уверен, что это "законно" при изучении пределов последовательностей.
Вполне. Только это задача не по теме "пределы последовательностей", а по теме "Формула Стирлинга". В Демидовиче есть параграф "Формула Стирлинга", там как раз несколько задач такого типа.