Равенство произведений двух множеств и самих множеств

[vadimm]

Нужно доказать, что если $A \times B = B \times A$, тогда $A = B$.

Почему она мне кажется немного фантастической? Интуитивно вроде просто, а вот записать решение (доказательство) толком не могу.

Прошу помочь разобраться с процессом рассуждения (это интересует больше всего с методической точки зрения). Хотя бы подскажите с чего начать. Мне кажется, что первый шаг никак не интутивный и не вполне логичный. То есть находится на уровне "тайны" -- некоторой догадки, которую нужно просто знать! Если честно, логически прийти к ней навряд ли у кого то, наверное, вообще получается.

[Otta]

vadimm в сообщении #1438630 писал(а):

Хотя бы подскажите с чего начать.

Попробуйте начать с определения.

[mihaild]

В таком виде это просто неправда, нужно еще некоторое условие на $A$ и $B$.

[vadimm]

mihaild в сообщении #1438632 писал(а):

В таком виде это просто неправда, нужно еще некоторое условие на $A$ и $B$.

Спасибо. Хотя условий в задаче нет, но я думаю, что это должно быть неравенство $A$ и $B$ пустому множеству, так как иначе будет тривиально. А что дальше?

[arseniiv]

Если для непустого $Y$ взять образ первой проекции $X\times Y$, получится $X$ (что надо конечно доказать). Тогда из $A\times B = B\times A$ последует $A = B$.

[vadimm]

Otta в сообщении #1438631 писал(а):

Попробуйте начать с определения.

arseniiv в сообщении #1438634 писал(а):

Если для непустого $Y$ взять образ первой проекции $X\times Y$, получится $X$ (что надо конечно доказать).

Спасибо. Так с чего мне начать доказательство?

Определение дать могу. Только чего? Равенства множеств или прямого произведения?

Взять образ? Не пойму, как он тут возникает. Разве тут задано отображение? Может быть просто первую проекцию пары $(x, y)$?

[mihaild]

vadimm в сообщении #1438637 писал(а):

Равенства множеств или прямого произведения?

И того и другого. В таких задачах полезно формально в терминах принадлежности написать, что дано и что требуется доказать.

vadimm в сообщении #1438637 писал(а):

Разве тут задано отображение?

Есть "естественное" отображение $X\times Y \to X$. Но можно проще.

Т.к. ситуация симметричная, то достаточно доказать, что $A \subseteq B$. Пусть $a \in A$. Тогда, воспользовавшись тем, что $B$ непусто, докажите, что $a \in B$.

[vadimm]

mihaild в сообщении #1438639 писал(а):

Т.к. ситуация симметричная, то достаточно доказать, что $A \subseteq B$. Пусть $a \in A$. Тогда, воспользовавшись тем, что $B$ непусто, докажите, что $a \in B$.

О! Вот это кажется находка (то есть раскрытие тайны)! То есть первый шаг -- это:

mihaild в сообщении #1438639 писал(а):

Пусть $a \in A$

Почему я сам не догадался! Думаю, что это и далее можно сделать. Спасибо!