Аксиоматика теории множеств

[khasanov.sm]

Mikhail_K в сообщении #1372475 писал(а):

khasanov.sm в сообщении #1372469 писал(а):

Приведите пожалуйста пример индуктивного.

Это сделать можно, но перед этим подумайте вот над чем: если бы такое множество было чем-то вроде Вашего, $\{121,144\}$, то аксиома бесконечности вообще не понадобилась бы! Потому что тогда существование индуктивного множества не пришлось бы постулировать (в аксиоме бесконечности), а можно было бы легко доказать: а именно, записать это самое множество и сказать: смотрите, оно индуктивное.
А раз потребовалась аксиома, значит с этим есть какие-то проблемы.

Вот хорошее замечание, спасибо!

Теперь цитата из учебника номер раз: " Далее, множество назовем индуктивным, если оно содержит пустое множество и последователь любого своего элемента" и номер два : "Аксиома позволяет создать модель множества $N_0$ натуральных чисел, определив его как пересечение индуктивных множеств, т.е. как наименьшее индуктивное множество.".

Вот тут мой мозг сходит с ума, когда поднимается речь о множестве индуктивных множеств и мало того определяется наименьшее среди бесконечных, но ведь они несчетны?

P.S. возможно, пишу полный бред, но это реакция на формальный язык автора.

-- 29.01.2019, 19:36 --

Otta в сообщении #1372696 писал(а):

khasanov.sm в сообщении #1372693 писал(а):

пустого подмножества $\left\lbrace\varnothing\right\rbrace$, для которого также определен последователь $\left\lbrace\left\lbrace\varnothing\right\rbrace\right\rbrace$

Оно не последователь.

Имел в виду, что определен последователь, так как есть элемент $\varnothing$ и $\left\lbrace\varnothing\right\rbrace$

[mihaild]

khasanov.sm в сообщении #1372699 писал(а):

но ведь они несчетны?

Понятия "счетности" на этот момент еще нет.

khasanov.sm в сообщении #1372699 писал(а):

наименьшее среди бесконечных

Имеется в виду такое, что оно является подмножеством любого другого. Такое существует: возьмем какое-нибудь индуктивное множество, возьмем все его индуктивные подмножества, возьмем их пересечение - оно индуктивно и является подмножеством любого индуктивного (докажите, что это так, и что это пересечение не зависит от выбора исходного множества!).

khasanov.sm в сообщении #1372699 писал(а):

Имел в виду, что определен последователь, так как есть элемент $\varnothing$ и $\left\lbrace\varnothing\right\rbrace$

Что это вообще значит? Где есть эти элементы, как это связано с определенностью последователя (последователь вообще есть у любого множества)? Можете явно выписать последователя $\{\varnothing\}$?

[Someone]

khasanov.sm в сообщении #1372693 писал(а):

А значит также в него входит последователь пустого подмножества $\left\lbrace\varnothing\right\rbrace$

Да, последователем $\varnothing$ является $\varnothing\cup\{\varnothing\}=\{\varnothing\}$.

khasanov.sm в сообщении #1372693 писал(а):

для которого также определен последователь $\left\lbrace\left\lbrace\varnothing\right\rbrace\right\rbrace$

Нет, это множество не является последователем множества $\{\varnothing\}$. Вычислите его, пользуясь определением.

khasanov.sm в сообщении #1372693 писал(а):

Имеем бесконечно вложение пустого множества

Я не понимаю, что это означает.

khasanov.sm в сообщении #1372693 писал(а):

Но понять физическую суть этого объекта, пока не возможно

Откуда взялась "физическая суть" у объектов, существующих исключительно в человеческой психике?

khasanov.sm в сообщении #1372699 писал(а):

но ведь они несчетны?

Какая разница?

[vadimm]

У меня тоже есть вопросы и ответы по аналогичной теме. Можно я буду задавать их здесь (или нужно создать новую)?

C последователями множеств идея понятна.

Множество из нуля элементов $\varnothing$. Множество из одного элемента -- это $\{\varnothing\}$. Оно последователь пустого множества, так как $\varnothing \cup \{\varnothing\} = \{\varnothing\}$. Далее, множество из двух элементов -- это $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$ -- последователь $\{\varnothing\}$. И т.д. можно построить бесконечные множества.

А вот с индуктивными множествами не очень. Что такое последователь множества определено, а вот понятие последователь элемента не определено.

Если взять такое определение:

Цитата:

Множество $M$ называется индуктивным, если оно содержит $\varnothing$ и при этом если $x \in M$, то $x \cup \{x\} \in M$.

По-моему получается, что любой последователь $\varnothing$ является индуктивным множеством?

Аксиома бесконечного множества постулирует, что индуктивное множество существует. Но больше ничего нам не сообщает. Какие можно из этого сделать выводы в контексте самой аксиомы я не смог понять? Значит ли это, что индуктивные множества определяют процедуру построения бесконечных множеств или что-то другое?

[mihaild]

vadimm в сообщении #1438518 писал(а):

Что такое последователь множества определено, а вот понятие последователь элемента не определено

А в чем разница? Мы в ZF, элементами множеств являются множества.

vadimm в сообщении #1438518 писал(а):

получается, что любой последователь $\varnothing$ является индуктивным множеством?

Как это у вас так получается?
Возьмем $M = \{\varnothing\}$ - последователь $\varnothing$ (что значит "любой последователь"? у $\varnothing$ только один последователь). Он не является индуктивным множеством, т.к. $\varnothing \in M$ но $(\varnothing \cup \{\varnothing\})\notin M$.

vadimm в сообщении #1438518 писал(а):

Какие можно из этого сделать выводы в контексте самой аксиомы я не смог понять?

Что значит "выводы в контексте аксиомы"?
Из аксиомы бесконечности (и других аксиом ZF) можно вывести существование наименьшего индуктивного множества, дальше его обозвать множеством натуральных чисел, ввести арифметику, расширить до целых, рациональных, вещественных и еще много чего.

vadimm в сообщении #1438518 писал(а):

Значит ли это, что индуктивные множества определяют процедуру

Что вообще значит "множество определяет процедуру"?

[vadimm]

Так я и пытаюсь разобраться в чем заключается смысл. Индуктивное множество это объект, который просто постулируется как есть или оно строится на основании чего-то первоначального? Почему используется слово "индуктивное"? В нем есть какой-то смысл по сравнению с индуктивным методом (процедурой)?

Мне показалось, что путем выполнения операции объединения элемента и одноэлементного множества, то есть $x \cup \{x\}$, можно строить индуктивные множества.

-- 06.02.2020, 13:17 --

vadimm в сообщении #1438527 писал(а):

Возьмем $M = \{\varnothing\}$ - последователь $\varnothing$ (что значит "любой последователь"? у $\varnothing$ только один последователь). Он не является индуктивным множеством, т.к. $\varnothing \in M$ но $(\varnothing \cup \{\varnothing\})\notin M$.

Спасибо. Это вроде бы стало понятно.

[mihaild]

vadimm в сообщении #1438527 писал(а):

Индуктивное множество это объект, который просто постулируется или оно строится на основании чего-то первоначального?

Есть свойство множества "быть индуктивным", аналогично свойствам "содержать пустое множество в качестве элемента" или "быть равномощным собственному подмножеству". И аксиома бесконечности утверждает, что существует индуктивное множество.

vadimm в сообщении #1438527 писал(а):

Почему используется слово "индуктивное"?

Надо смотреть на историю. Скорее всего, одна из причин - то, что в минимальном индуктивном множестве $\mathbb N$ работает принцип индукции: если $X$ - некоторое подмножество $\mathbb N$ содержит $\varnothing$ и если $x \in X$ то $S(x) \in X$, то $X = \mathbb N$.

vadimm в сообщении #1438527 писал(а):

Мне показалось, что путем выполнения операции объединения элемента и одноэлементного множества, то есть $x \cup \{x\}$, можно строить индуктивные множества

"Неформально" - можно. Формально - нельзя, т.к. построение получится бесконечным. Вот после того, как у нас есть $\mathbb N$, построения из бесконечного числа шагов уже становится возможным формализовать: мы как-то "единообразно" задаем построение для каждого конечного шага, а потом как-то объединяем эти шаги.

[george66]

Зачем мучаете человека схоластикой. Давным-давно в теории множеств было предложено задавать натуральные числа множествами
$\emptyset$
$\{\emptyset\}$
$\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$
и так далее по принципу
$0=\emptyset$
$n+1 = n\cup\{n\}$
Это удобно, поскольку число $n$ оказывается множеством из $n$ элементов
$n = \{0,1\ldots n-1\}$
Аксиома бесконечности утверждает (после схоластических рассуждений), что существует множество натуральных чисел. Между прочим, схоластика процветала ещё в 18-м веке. Ньютон уже придумал дифуры, а в университетах были ставки преподавателей схоластики.

[vadimm]

george66 в сообщении #1438668 писал(а):

Аксиома бесконечности утверждает (после схоластических рассуждений), что существует множество натуральных чисел.

vadimm в сообщении #1438518 писал(а):

Аксиома бесконечного множества постулирует, что индуктивное множество существует.

Очень интересно! Как это понимать? Множество $\mathbb{N}$ -- это по своей сути бесконечное множество и вдобавок индуктивное, то есть построенное по принципу индукции? Или другое понимание, например, что из "ничего" (нуль или пустое множество), используя принцип индукции (соответственно получая какие-то индуктивные множества), мы можем строить бесконечные множества?

[eugensk]

vadimm
"По своей сути" вообще, наверное, не бывает.
Определение зависит от того, какую задачу вы решаете, что выбрано в качестве основных, неопределяемых понятий.
Например, $\mathbb{N}$ можно определить как пересечение всех подмножеств $\mathbb{R}$, таких что они содержат 1 и с каждым $x$ содержат $ x+1$. Но можно, разумеется, только при условии что $\mathbb{R}$ с 1, сложением, известными свойствами уже есть.

Можно наоборот, определить $\mathbb{N}$ как показано выше, потом построить $\mathbb{R}$.

[mihaild]

vadimm в сообщении #1438674 писал(а):

Множество $\mathbb{N}$ -- это по своей сути бесконечное множество и вдобавок индуктивное

Никакой "сути" у $\mathbb N$ (как и у других множеств) нет, и она не нужна. $\mathbb N$ - это индуктивное (следовательно бесконечное) множество, причем не абы какое, а минимальное индуктивное.

vadimm в сообщении #1438674 писал(а):

индуктивное, то есть построенное по принципу индукции?

Нет, индуктивное множество - это не как-то там "хитро построенное" ("способ построения" вообще не является свойством множества). Индуктивное множество - это ровно множество, содержащее пустое и вместе с каждым элементом содержащее следующий за ним.
А дальше $\mathbb N$ определяется как минимальное индуктивное множество (т.к. пересечение индуктивных множеств индуктивно, то такое существует).

vadimm в сообщении #1438674 писал(а):

из "ничего" (нуль или пустое множество), используя принцип индукции, мы можем строить бесконечные множества?

Как раз не можем. Именно поэтому существование хотя бы одного индуктивного множества приходится постулировать.
И это одно из мест, откуда лезет неполнота: т.к. мы не указали "явно" все элементы, может оказаться, что в нашем минимальном индуктивном множестве всё равно есть элементы, о которых мы не подумали.

vadimm в сообщении #1438674 писал(а):

какие-то индуктивные множества

На всякий случай: любое индуктивное множество автоматически бесконечно.

[george66]

Множество натуральных чисел - это самое маленькое индуктивное множество. Из этого следует принцип математической индукции (если какое-то множество индуктивно, то оно содержит все натуральные числа). Поскольку (легко проверить) пересечение любого семейства индуктивных множеств само индуктивно, множество натуральных чисел можно определить как пересечение всех индуктивных множеств (это будет наименьшее индуктивное множество). Где-то тут недавно выкладывал ликбез по нестандартному анализу, там это подробно расписано.