Диофантово уравнение 1/x1+...+1/xn-1/x1...xn in N

[Sonic86]

Как найти все энки $(x_1,...,x_n), x_k \in\mathbb{N}, x_k > 1$ такие, что

$$\frac{1}{x_1}+...\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_1...x_n}\in\mathbb{N}, \gcd(x_i, x_j)=1$$

Есть решения

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2\cdot 3\cdot 5}=1$$

.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{41}-\frac{1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 41}=1$$

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{2\cdot 3\cdot 11\cdot 13}=1$$

(скучные попытки решения)

Для $n=2$ левая часть $\leqslant 2\frac{1}{2}-\epsilon < 1$ - решений нет.
Ясно, что $k<n$ - можно перебирать диофантовы уравнения. Хотя там ввиду того, что наибольшее значение левой части достигается при $x_k=p_k$, мы получаем, что максимальное значение $k\sim\ln\ln n$. Ну хотя бы растет очень медленно. Ну вообще для каждого $n$ легко получаем оценку сверху на $k$. Но оно не ограниченное получается. Для каждого конкретного $n$ я могу найти все такие энки перебором.
Левая часть - убывающая функция от каждой переменной, отсюда следует, что при $n=3$ других решений нет.

И где-то здесь такое уже было, только где?
upd: post349361.html#p349361 - вот где оно было

[Andrey A]

Sonic86 в сообщении #1438391 писал(а):

$$\frac{1}{x_1}+...\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_1...x_n}\in\mathbb{N}, \gcd(x_i, x_j)=1$$

Можно это переписать в свободной форме так: $\frac{1}{x_1}+...\frac{1}{x_n} \approx 1$ или так: $\frac{1}{x_1}+...\frac{1}{x_n}+\Delta_n=1$
Последовательность нижних приближений единицы и верхнее приближение на последнем этапе. Многое проясняется, если выписывать на каждом этапе $\Delta_n$. Все энки не знаю, что если их бесконечное число? Например можно брать $x_{n+1}=x_n(x_n-1)+1$ и в конце $x_n(x_n-1)-1$. Пример – две первые Ваши последовательности (в сущности одна). Каждый новый знаменатель не имеет общих делителей с предыдущими (как у Евклида), в числителе $\Delta_n$ всегда единица, значит можно продолжать до бесконечности или в любой момент остановиться (с минусом). Но это не все решения. Числитель $\Delta_n$ на заключительном этапе не обязательно должен быть единицей, как в Вашем последнем примере: $1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{11}=\frac{5}{66}$, но мерещится мне что это должна быть дробь из трех знаков с нулем в начале: $\frac{5}{66}=0,13,5$, причем второй знак должен быть вз. прост с прежними знаменателями. Могу ошибаться, но в любом случае там к заключительной дельте довольно суровые требования возникают. Как-то так.