Разложение в ттригонометрический ряд

[bamper]

Есть покзания снятые с датчика(1024 шт) необходимо разложить в ттригонометрический ряд.Прошу подсказать как это сделать или скинуть ссылку. Также если есть возможность то можете подсказать программку для выполнения данной работы.

[ewert]

В программу Matlab специально для этого встроена функция fft ("быстрое преобразование Фурье" -- fast Fourier trasformation или что-то типа, не помню).

[bamper]

В этом вы правы, но она раскладывает не в тригеометрический ряд а в комплексный, а как с него перейти в тригонометрческий ряд не подскажете?

[Brukvalub]

bamper писал(а):

В этом вы правы, но она раскладывает не в тригеометрический ряд а в комплексный, а как с него перейти в тригонометрческий ряд не подскажете?

По формуле $e^{it} = \cos t + i\sin t$

[bamper]

Сорри я немного не правильно выразился как перейти с комплексного в Тригонометрический ряд Фурье

[ewert]

bamper писал(а):

В этом вы правы, но она раскладывает не в тригеометрический ряд а в комплексный, а как с него перейти в тригонометрческий ряд не подскажете?

bamper писал(а):

В этом вы правы, но она раскладывает не в тригеометрический ряд а в комплексный, а как с него перейти в тригонометрческий ряд не подскажете?

Да просто сверните комплексные экспоненты в синусы и косинусы:

$$c_ke^{2\pi ikx)+c_{-k}e^{-2\pi ikx)=(c_k+c_{-k})\cos(2\pi kx)+(c_k-c_{-k})i\,\sin(2\pi kx),$$

откуда

$$a_k=c_k+c_{-k})$$

и

$$b_k=i(c_k-c_{-k})$$

.

С учётом периодичности коэффициентов, конечно: $c_{-k}\equiv c_{n-k}$, где $n=1024$.

Тут, правда, есть один ньюанец: при чётном количестве узлов последняя гармоника фактически не используется. Ну что ж тут поделаешь -- такая вот особенность дискретных преобразований Фурье.

[bamper]

Какой день уже бьюсь, но никак не выходит разложить в ряд=(
Для того чтобы разобраться взял простейшую функцию
sin(x).
x=0:0.5:2*3.1416
y=sin(x)
При помощи matlab разложил в комплексный ряд
-0,061715
0,60525 - 6,3486i
-0,12569 + 0,28599i
-0,11497 + 0,14104i
-0,11211 + 0,081619i
-0,11101 + 0,043863i
-0,1106 + 0,013925i
-0,1106 - 0,013925i
-0,11101 - 0,043863i
-0,11211 - 0,081619i
-0,11497 - 0,14104i
-0,12569 - 0,28599i
0,60525 + 6,3486i
Итак, получилось что коэффициенты таковы:

\[ \begin{gathered} c_1 = 6.37 \hfill \\ c_2 = 0.312 \hfill \\ c_3 = 0.182 \hfill \\ c_4 = 0.1382 \hfill \\ . \hfill \\ . \hfill \\ . \hfill \\ c_{13} = {\text{6}}{\text{,3774}} \hfill \\ \end{gathered} \]

после этого нахожу коэф-ты

\[a_k\]

и

\[b_k\]

по формулам привиденным выше:

\[ \begin{gathered} a_1 = c_1 + c_{ - 1} = c_1 + c_{13 - 1} = c_1 + c_{12} = 6.37 + 0.31 = 6.68 \hfill \\ b_1 = c_1 - c_{ - 1} = c_1 - c_{13 - 1} = c_1 - c_{12} = 6.37 - 0.31 = 6.06 \hfill \\ a_2 = c_2 + c_{ - 2} = c_2 + c_{13 - 2} = 0.49 \hfill \\ b_2 = c_2 - c_{ - 2} = c_2 - c_{13 - 2} = 0.13 \hfill \\ a_3 = 0.44 \hfill \\ b_3 = 0.18 \hfill \\ . \hfill \\ . \hfill \\ . \hfill \\ a_{13} = 6.31 \hfill \\ b_{13} = 6.43 \hfill \\ \end{gathered} \]

В итгоге получаю следующий ряд:

\[ {\text{f(x) = - 0}}{\text{.06 + 6}}{\text{.68cos(x) + 6}}{\text{.05sin(x) + 0}}{\text{.49cos(2x) + 0}}{\text{.13sin(2x) + 0}}{\text{.44cos(3x) + 0}}{\text{.18sin(3x) + }}...{\text{6}}{\text{.31cos(13x) + 6}}{\text{.43sin(13x)}} \]

Но данное разложение не равно

\[\sin (x)\]

которое было изначально. Подскажите, где допускаю ошибку.

[ewert]

Шаг 0.5 неправильный -- узлы должны быть равноотстоящими. Т.е. последний должен совпадать с правым концом (но не должен использоваться). Вы фактически раскладываете синус на промежутке от 0 до 6.5.

[bamper]

Попробовал поменять шаг но ничег не получилось.

\[ \begin{gathered} x = 0:\pi/6:2*\pi \hfill \\ y = \sin (x) \hfill \\ \end{gathered} \]

но само значение

\[\sin (x)\]

при

\[x = 2\pi\]

, как вы мне сказали не стал включать в комплексый ряд.Ряд получился таков:

\[ \begin{gathered} {\text{ - 0}}{\text{.0000}} \hfill \\ {\text{ 0}}{\text{.0000 - 6}}{\text{.0000i }} \hfill \\ {\text{ - 0}}{\text{.0000 + 0}}{\text{.0000i }} \hfill \\ {\text{ - 0}}{\text{.0000 + 0}}{\text{.0000i }} \hfill \\ {\text{ - 0}}{\text{.0000 + 0}}{\text{.0000i}} \hfill \\ {\text{ - 0}}{\text{.0000 + 0}}{\text{.0000i}} \hfill \\ {\text{ - 0}}{\text{.0000 }} \hfill \\ {\text{ - 0}}{\text{.0000 - 0}}{\text{.0000i }} \hfill \\ {\text{ - 0}}{\text{.0000 - 0}}{\text{.0000i }} \hfill \\ {\text{ - 0}}{\text{.0000 - 0}}{\text{.0000i}} \hfill \\ {\text{ - 0}}{\text{.0000 - 0}}{\text{.0000i }} \hfill \\ {\text{ 0}}{\text{.0000 + 6}}{\text{.0000i}} \hfill \\ \end{gathered} \]

коэф-ты получаются следующие:

\[ \begin{gathered} {\text{a}}_{\text{1}} {\text{ = a}}_{{\text{11}}} {\text{ = c}}_{\text{1}} {\text{ + c}}_{{\text{12 - 1}}} {\text{ = c}}_{\text{1}} {\text{ + c}}_{{\text{11}}} {\text{ = 6 + 6 = 12}} \hfill \\ {\text{a}}_{\text{2}}^{} {\text{ = a}}_{\text{3}} {\text{ = }}...{\text{ = a}}_{{\text{10}}} {\text{ = 0}} \hfill \\ b_1 = b_2 = ... = b_{11} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]

\[ f(x) = 12\cos x + 12\cos (12*x) \]

И опять выходит что полученная функуция не равняется исходной.

[ewert]

ну, положим, у Вас получается всё же не косинус икса, а именно синус -- при вычитании цэ первого и одиннадцатого. Двенадцатой гармоники в этом разложении вообще нет как класса (максимум пятая, и ещё половинка шестой -- половинка в том смысле, что она комплексная, стандартная неприятность ДПФ при разложении по чётному количеству узлов). Что же до того, почему получается не один синус, а двенадцать -- ничего сказать не могу, надо смотреть по хелпу точный синтаксис команды fft, я нюансов не помню, а Матлаба здесь у меня при себе нет (т.е. дистрибутив-то есть, да разворачивать -- жаба душит, и по времени, и винчестер не шибко велик).

[bamper]

Все равно большое спасибо