Тест простоты

[Soul Friend]

nnosipov в сообщении #1437607 писал(а):

Переадресуем этот вопрос ТС.

[Soul Friend]

Не знаю как с полиномами, но самих чисел Фибоначчи можно коротко суммировать так:
$F_1+F_2+ .... +F_n=F_{n-3} \cdot 11$

https://youtu.be/CWhcUea5GNc

[Soul Friend]

Извиняюсь за диз.информацию (незнание английского вот так часто подводит). Там про сумму десяти подряд идущих чисел в последовательности говорится:

upto(n)={ print(sum(k=n-9,n,fibonacci(k)), "  ", fibonacci(n-3)*11)};
/* следующая команда { upto('ваше выбранное число') }  */

[nnosipov]

Soul Friend в сообщении #1437680 писал(а):

Там про сумму десяти подряд идущих чисел в последовательности говорится:

Это неважно, найти сумму первых $n$ чисел Фибоначчи действительно несложно. Но это не имеет отношение к делу. Обратите внимание: в сравнении из гипотезы суммируются все значения одного ($n$-го) многочлена Фибоначчи.

[Soul Friend]

а что означает $\equiv -1 \mod n$ ?

Pedja в сообщении #1437563 писал(а):

когда $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}F_{n}(k) \equiv -1 \pmod n\)$

[nnosipov]

Soul Friend
Сравнение по модулю $n$, что же еще.

[Soul Friend]

как получить $-1$ ?

[dmd]

Soul Friend

(Оффтоп)

Выполните в pari/gp Mod(-1,1000)

[Soul Friend]

То есть, гипотеза утверждает $\sum_{k=0}^{n-1}F_{n}(k)=(n-1)$ если $n$ - простое число?

[Dmitriy40]

Soul Friend
Нет, она утверждает что для простых $n$ остаток при делении суммы на $n$ равен $n-1$: $-1 \bmod n = (n \bmod n) + (-1 \bmod n) = (n-1) \bmod n$.

[Soul Friend]

А существуют ли все $n$ классов по модулю $n$ для : $\sum_{k=0}^{n-a}F_{n}(k)$ где $0\leqslant a<n$ ?

[Soul Friend]

Здесь есть явная формула для полинома Фибоначчи:
Weisstein, Eric W. "Fibonacci Polynomial." From MathWorld--A Wolfram Web
PARI

n=11;
upto(x)={print(sum(k=0, x, (((k+sqrt(k^2+4))^n-(k-sqrt(k^2+4))^n)/(2^n*sqrt(k^2+4))) ))}
/* далее, надо отдельно набирать */
upto(10)   /*  вывод результата */
16480211703.0000000
Mod(16480211703, n) 
%2 = Mod(10, 11) 

только почему-то при $n=17$ upto(16) - выдаёт дробное число.

[Soul Friend]

Сравнение шестой гипотезы с теоремой Вильсона:
WolframAlfa код:

(sum fibonacci(561, k) from k=0 to 560) - (561/3)!

[Someone]

Soul Friend в сообщении #1437717 писал(а):

почему-то при $n=17$ upto(16) - выдаёт дробное число.

Погрешности округления накопились.

[Dmitriy40]

Проверил гипотезу ТС до $n<3000$, контрпримера не обнаружил. Код PARI/GP:

? \p 13000
   realprecision = 13004 significant digits (13000 digits displayed)
? fn(n,x)=my(t);t=sqrt(x^2+4)/2;round(((x/2+t)^n-(x/2-t)^n)/t/2);
? test(n)=my(k);sum(k=0,n-1,fn(n,k))%n;
? for(n=2,3000,k=test(n);if(isprime(n)&&k!=n-1||!isprime(n)&&k==n-1,print("Err=",n)))