Пространства со счётными базами и сетями

[Someone]

monoid2 в сообщении #1437661 писал(а):

Пусть ${\bar m_1} = (1, 3, 5, 7,...)$ — последовательность нечётных чисел, ${\bar m_2} = (2, 4, 6, 8,...)$ — последовательность чётных чисел.

Являются ли множества $\mathcal O_{1,\bar m_1} и $\mathcal O_{1,\bar m_2} элементами базы, построенной Вами?

Являются. Но их пересечение состоит вовсе не из одной точки $O$.

[monoid2]

Someone в сообщении #1437663 писал(а):

Являются. Но их пересечение состоит вовсе не из одной точки $O$.

Ага, вот тут мы с Вами расходимся. Мои скромные познания теории множеств подсказывают мне, что для того что бы понять, что такое пересечение двух множеств, неплохо бы сначала понять, что из себя представляют сами пересекаемые множества.

Давайте я напишу, что из себя по-моему представляют множества $ O_{1,\bar m_2}$ и $ O_{1,\bar m_2}$, а вы скажите, в чём я не прав.

Начнём с множества $ O_{1,\bar m_2}$:

Оно состоит из точек:

(1/2, 1), (1/2, 1/2), (1/2, 1/3), (1/2, 1/4) и так далее, включая точку (1/2, 0)

далее, но состоит из точек:

(1/4, 1/2), (1/4, 1/3), (1/4, 1/4), (1/4, 1/5) и так далее, включая точку (1/4, 0)

далее, но состоит из точек:

(1/6, 1/3), (1/6, 1/4), (1/6, 1/5), (1/6, 1/6) и так далее, включая точку (1/6, 0)

и так далее...

Кроме того, в нём есть точка 0.

Теперь множество $ O_{1,\bar m_1}$:

Оно состоит из точек:

(1, 1), (1, 1/2), (1, 1/3), (1, 1/4) и так далее, включая точку (1, 0)

далее, но состоит из точек:

(1/3, 1/2), (1/3, 1/3), (1/3, 1/4), (1/3, 1/5) и так далее, включая точку (1/3, 0)

далее, но состоит из точек:

(1/5, 1/3), (1/5, 1/4), (1/5, 1/5), (1/5, 1/6) и так далее, включая точку (1/5, 0)

и так далее...

Кроме того, в нём есть точка 0.

Я не прав?

[Someone]

monoid2 в сообщении #1437667 писал(а):

Ага, вот тут мы с Вами расходимся.

А, я, кажется, понял. Там в определении множеств $\mathcal O_{n,\bar m}$ опечатка. У меня в голове не формальное описание, которое я когда-то сочинил, а некоторый геометрический образ, поэтому я не смотрю на формальное описание и не вижу опечатки. Должно быть так.

Это просто сходящаяся последовательность вместе с предельной точкой, и к каждой точке этой последовательности "прицеплена" ещё одна сходящаяся последовательность. Например, так. Рассмотрим на плоскости (с системой координат $Oxy$) множество $X$, являющееся объединением следующих подмножеств (я для удобства считаю, что натуральный ряд $\mathbb N$ не содержит нуля; если Вы считаете иначе, просто замените во всяких дробях знаменатель $n$ на $n+1$ и т. п.):
1) точка $O=(0,0)$;
2) множество $K=\{A_n:n\in\mathbb N\}$, где $A_n=\left(\frac 1n,0\right)$;
3) множества $L_n=\{B_{m,n}:m\in\mathbb N\}$, $n\in\mathbb N$, где $B_{m,n}=\left\{\left(\frac 1n,\frac 1m\right):m\in\mathbb N\right\}$.
Базу топологии образуют множества следующих видов:
1) одноточечные множества $\mathcal B_{m,n}=\{B_{m,n}\}$, $m,n\in\mathbb N$;
2) множества $\mathcal A_{m,n}=\{A_n,B_{k,n}:k\geqslant m\}$, $m,n\in\mathbb N$ (последовательность, сходящаяся к $A_n$, вместе с предельной точкой $A_n$);
3) множества $\mathcal O_{n,\bar m}=\{O\}\cup\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}\mathcal A_{m_k,k}$, где $\bar m=(m_k:k\in\mathbb N)$ — последовательность натуральных чисел.