Корни многочлена Лежандра, теорема Ролля

[e7e5]

Really писал(а):

Угол в Евклидовом пр-ве всегда можно определить из соотношения

$$ \cos\varphi=\frac{(p,q)}{\|p\|\|q\|}. $$

Спасибо!
$p(t)=$$1+3x+x^2$
$q(t)=$$-1/2+0x+3/2x^2$
$(p,q)=$$-1/2+3*0+1*3/2$$=1$ Промежуточный вопросик: почему так можно определить скалярное произведение в пространстве многочленов степени $\le (n-1)$? В книжке просто дана формула....

$(p,p)=$$1*1+3*3+1*1$$=11$

$(q,q)=$$1/2*1/2+0+3/2*3/2$$=5/2$

$$\cos\varphi=\sqrt{2/55}$$

Правильно получилось?

Еще вопросик ( может тупой): Как найти разложение $Sinx$ по базису $P_n$?

[Really]

e7e5 в сообщении #143217 писал(а):

Спасибо!
$p(t)=1+3x+x^2$
$q(t)=-1/2+0x+3/2x^2$
$(p,q)=-1/2+3*0+1*3/2=1$

Не торопитесь. Система многочленов Лежандра является ортогональной в смысле следующего скалярного произведения:

$$ (p,q)=\int\limits_{-1}^1 p(x)q(x) dx. $$

И норму вы вроде бы вычисляли тоже в этом скалярном произведении.

В смысле того скалярного произведения, которое вы предлагаете она будет
ортогональной, только пока мы рассматриваем пространство многочленов не выше
второй степени, а вот система степеней в нем является ортонормированной, так что в этом скалярном произведении не видно никакого смысла в многочленах Лежандра.

Так что, неплохо было бы определиться в качестве элементов какого линейного
пространства вы рассматриваете эти многочлены.

e7e5 писал(а):

Промежуточный вопросик: почему так можно определить скалярное произведение в пространстве многочленов степени $\le n-1$? В книжке просто дана формула....

Для того, чтобы ответить на вопрос можно или нельзя надо просто проверить
выполняются ли аксиомы скалярного произведения.

[e7e5]

Really писал(а):

Не торопитесь. Система многочленов Лежандра является ортогональной в смысле следующего скалярного произведения:

$$ (p,q)=\int\limits_{-1}^1 p(x)q(x) dx. $$

И норму вы вроде бы вычисляли тоже в этом скалярном произведении.


Так что, неплохо было бы определиться в качестве элементов какого линейного
пространства вы рассматриваете эти многочлены

Похоже запутался...
Рассматриваем пока примеры для Q(x) и многочлена $P_2$. Ищем "косинус фи", и что в формулу скалярного произведения подставлять?

Если подставить именно эти многочлены, то интеграл получается равным $38/15$
А если подсчитать снова нормы в знаменателе и найти угол между векторами, то у меня получилось
$cos\phi=$$19/(2 \sqrt{102}), что примерно 0,94

[Really]

e7e5 в сообщении #143249 писал(а):

Рассматриваем пока примеры для Q(x) и многочлена $P_2$. Ищем "косинус фи", и что в формулу скалярного произведения подставлять?

Если подставить именно эти многочлены, то интеграл получается равным $38/15$
А если подсчитать снова нормы в знаменателе и найти угол между векторами, то у меня получилось
$cos\phi=$$19/(2 \sqrt{102}), что примерно 0,94

Ну а какие же еще? Если определить $\varphi$ как угол между
векторами $p$ и $q$, то что же еще подставлять?

Что вам мешает проверить ваши вычисления, скажем в Maple?

У меня получилось$\displaystyle(Q,P_2)=\frac{4}{15},\ \cos\varphi=2\frac{\sqrt{219}}{219}\approx .1351474757$.

[e7e5]

Really писал(а):

Ну а какие же еще? Если определить $\varphi$ как угол между
векторами $p$ и $q$, то что же еще подставлять?

Что вам мешает проверить ваши вычисления, скажем в Maple?

Смущает следующее: если бы взяли $Q(x)$ третьей степени, то разве также искать угол, с тем же $P_2$?
Ведь ранее нашли координаты многочлен второй степени, а для многочленв третьей степени пришлось бы брать еще и $P_3$.
Или для приведенной формулы скалярного произведения это совсем не важно?

Maple - наверное не мешает проверять, но у меня есть только бумажка в клеточку и ручка. Вы имели ввиду, так проще и быстрее посчитать интегралы, "поиграться" с коэффициентами $Q(x)$?
Кстати, какие целые коэффициенты должен иметь тогда этот многочлен, чтобы быть "почти " ортогональным $P_2$ ( косинус угла был близок к нулю). Maple так может считать?

[Really]

e7e5 в сообщении #143372 писал(а):

Смущает следующее: если бы взяли $Q(x)$ третьей степени, то разве также искать угол, с тем же $P_2$?
Ведь ранее нашли координаты многочлен второй степени, а для многочленв третьей степени пришлось бы брать еще и $P_3$.
Или для приведенной формулы скалярного произведения это совсем не важно?

В Евклидовом пространстве, для любой пары векторов вы можете вычислить скалярное произведение и, соответственно, по приведенной выше формуле определить угол между векторами. Так что угол вы можете вычислить для многочленов любой степени.

Цитата:

Кстати, какие целые коэффициенты должен иметь тогда этот многочлен, чтобы быть "почти " ортогональным $P_2$ ( косинус угла был близок к нулю). Maple так может считать?

Величина скалярного произведения многочлена Лагранжа $P_n$ с любым многочленом $Q$ определяется лишь коэффициентом при $P_n$ в разложении $Q$ по базису Лагранжа. Если он будет "почти нулевым" --- многочлены будут "почти ортогональными". В частности,
многочлен Лагранжа ортогонален любому многочлену меньшей степени. Положите коэффициент при $x^2$ равным нулю - получите ортогональность.

[e7e5]

Really писал(а):

Величина скалярного произведения многочлена Лагранжа $P_n$ с любым многочленом $Q$ определяется лишь коэффициентом при $P_n$ в разложении $Q$ по базису Лагранжа. Если он будет "почти нулевым" --- многочлены будут "почти ортогональными". В частности,
многочлен Лагранжа ортогонален любому многочлену меньшей степени. Положите коэффициент при $x^2$ равным нулю - получите ортогональность.

Спасибо, ясно.
Однако, если коэффициент при $x^2$ оставим как есть, а будем варьировать другие - при первой степени ( вместо 3 еще что-нибудь), свободный член ( 1 заменим на что-то) Q(x), то можно добиться "лучшей ортогональности"?
И насколько "не дотянем" то ортогональности, какая оценка?

[Really]

e7e5 в сообщении #143432 писал(а):

Однако, если коэффициент при $x^2$ оставим как есть, а будем варьировать другие - при первой степени ( вместо 3 еще что-нибудь), свободный член ( 1 заменим на что-то) Q(x), то можно добиться "лучшей ортогональности"?
И насколько "не дотянем" то ортогональности, какая оценка?

Никакой оценки не будет. Величину косинуса можно сделать сколь
угодно малой. При фиксированном коэффициенте при $x^2$ значение
скалярного произведения будет постоянным. $\|P_2\|$ тоже константа.
Остается третья величина в формуле, на которую вы можете влиять.

[e7e5]

Really писал(а):

Никакой оценки не будет. Величину косинуса можно сделать сколь
угодно малой.

Спасибо.

Еще вопрос:
Можно ли раскладывать $Sinx$ в пространстве $P_n$
Ну, например, если разложим синус в ряд, с какой-то погрешностью, а потом с этим рядом работать?

[Really]

e7e5 в сообщении #143489 писал(а):

Можно ли раскладывать $Sinx$ в пространстве $P_n$
Ну, например, если разложим синус в ряд, с какой-то погрешностью, а потом с этим рядом работать?

Во-первых $sin(x)$ не многочлен. Так что, непонятно, что значит в пространстве $P_n$. Вообще говоря разложить, конечно, можно, и для
$sin(x)$ ряд будет сходиться равномерно на $[-1,1]$.

[e7e5]

Спасибо большое за помощь по теме многочленов , вопрос решен