Отношения эквивалентности.Факторизация отображений.Порядок

[khasanov.sm]

Добрый вечер!

Помогите пожалуйста разобраться с задачей на биективное отображения фактормножества декартова квадрата $R^2/\sim$ в прямую $L$ ,пересекающую ось Ox. Любые две точки точки $P,P' \in \mathbb{R}^2$ находятся в отношении \sim$ $\Longleftrightarrow$ $P,P' лежат на одной горизонтальной прямой.

Фактормножество, являющееся разбиением $R^2$, представляется как объединение непересекающихся классов эквивалентности:

$\overline{(0,y_0)} = $\left\lbrace(x,y) | (x,y) \in \mathbb{R}^2, y = y_0 \right\rbrace$\subset$\mathbb{R}^2$

Построим сюръективное отображение $p: R^2/\sim\to R$ так, что $p[$\overline{(x,y_0)}$] = y_0 $. Далее запишем уравнение прямой $L$ в общем виде (A,B - какие-то вещественные константы):

$X = Ay + B$.

Таким образом, требуемое биективное отображение можно представить в виде:

$$\tilde{f} \cdot p[\overline{(x,y)}] = x, \tilde{f} = Ay + B $

Корректно ли мое решение? Почти уверен, что все намного проще, но пока вижу это так)

[arseniiv]

В задаче требуют построить любую биекцию или какую-то особенную? И прямая тоже произвольная?

Видимо, предполагается геометрическое решение: раз классы эквивалентности — прямые, параллельные оси абсцисс, то раз прямая $L$ по условию пересекает её, она пересекает и каждый из классов, притом каждый ровно в одной точке. Вот и сопоставим каждому классу точку пересечения с $L$.

Если от биекции ничего не требуется, можно построить и кучу других, применяя после биекции выше какую-нибудь биекцию $L$ в себя, например параллельный перенос, растяжение или какое-нибудь вообще хитрое преобразование, даже не обязательно непрерывное.

-- Вс янв 26, 2020 00:57:38 --

Да, вы то же написали, но в каких-то немного странных обозначениях. Точка — это композиция функций?

[khasanov.sm]

Это упражнение 1,§6 главы I из учебника Кострикина Основы Алгебры I.

В параграфе вводится отношение эквивалентности и факторизация отображений. В этой связи пробую привести решение полностью в соответствии с материалом параграфа.

arseniiv в сообщении #1436928 писал(а):

Да, вы то же написали, но в каких-то немного странных обозначениях. Точка — это композиция функций?

[svv]

Ваше решение запишу чуть по-другому.

С использованием декартовых координат любой класс эквивалентности можно записать как
$H_y:=\{(x,y)|x\in\mathbb R\},\quad y\in\mathbb R$,
а произвольную точку на прямой $L$, пересекающей ось $Ox$, как
$M_y:=(ay+b, y),\quad y\in\mathbb R$.

Отображение $f: \mathbb R\to \mathbb R^2/\sim$, действующее по правилу $y\mapsto H_y$ , биективно.
Отображение $g: \mathbb R\to L$, задаваемое правилом $y\mapsto M_y$ , тоже биективно.
Следовательно, и композиция $(g\circ f^{-1}): \mathbb R^2/\sim\to L$ тоже биекция.

[khasanov.sm]

svv в сообщении #1436957 писал(а):

Ваше решение запишу чуть по-другому.

...

Следовательно, и композиция $(g\circ f^{-1}): \mathbb R^2/\sim\to L$ тоже биекция.

Очень красиво! Спасибо!

[khasanov.sm]

В следующем упражнении предлагается показать, что множество из трех элементов имеет 5 различных фактормножеств. Прошу также дать комментарии и возможные наставления относительно предлагаемого решения.

$S =\left\lbrace s_1,s_2, s_3\right\rbrace$

Вводимые бинарные отношения на множестве являются отношением эквивалентности (проверку не провожу)

1. $\sim : s_i \sim s_j \Longleftrightarrow s_i = s_j$
Ему соответствует разбиение множества (фактормножество по отношению $\sim$) $S$ на непересекающиеся подмножества $\left\lbrace s_1\right\rbrace,\left\lbrace s_2\right\rbrace$

Для последующих вариантов отношения эквивалентности перечислять элементы разбиения (классы эквивалентности) не буду.

2. $\sim :\left\lbrace s_i,s_j\right\rbrace \sim \left\lbrace s_k,s_m\right\rbrace \Longleftrightarrow \left\lbrace s_i,s_j\right\rbrace \cap \left\lbrace s_k,s_m\right\rbrace = s_1 $

3. $\sim :\left\lbrace s_i,s_j\right\rbrace \sim \left\lbrace s_k,s_m\right\rbrace \Longleftrightarrow \left\lbrace s_i,s_j\right\rbrace \cap \left\lbrace s_k,s_m\right\rbrace = s_2 $

4. $\sim :\left\lbrace s_i,s_j\right\rbrace \sim \left\lbrace s_k,s_m\right\rbrace \Longleftrightarrow \left\lbrace s_i,s_j\right\rbrace \cap \left\lbrace s_k,s_m\right\rbrace = s_3 $

5. $\sim :\left\lbrace s_i,s_j, s_k \right\rbrace \sim \left\lbrace s_l,s_m, s_n\right\rbrace \Longleftrightarrow \left\lbrace s_i,s_j, s_k\right\rbrace \cap \left\lbrace s_l,s_m, s_n\right\rbrace = \left\lbrace s_1,s_2, s_3 \right\rbrace $

[arseniiv]

А почему у вас вдруг не элементы находятся в отношении, а подмножества? Не, так не пишут, это чревато ошибками. А вот классы эквивалентности вы зря зареклись писать: любое разбиение $\mathcal M$ некоторого множества $A$ является его фактором по какой-то эквивалентности $\sim$, определяемой так: $a_1\sim a_2 \Longleftrightarrow \exists M\in\mathcal M.\;\{a_1,a_2\}\subset M$, то есть элементы эквивалентны, если входят в один блок (класс) разбиения. Разбиения дальше перечисляются компактно и довольно легко, особенно если принять $A = \{1,2,3\}$ и записывать разбиение в виде последовательности блоков, разделённых ну скажем палкой |, а внутри блоков элементы писать вплотную. Тогда все разбиения — это

$$123,\qquad 1|23,\qquad 2|13, \qquad 3|12, \qquad 1|2|3.$$

[khasanov.sm]

Круто