Задача по теории групп

[B@R5uk]

Подскажите, правильно ли я построил граф группы? В условии задачи давались только два уравнения:

$$\begin{matrix}s^3=I,&sts^{-1}=t^2,\\ \end{matrix}$$

где s, t и I — это две образующие и единичный элемент соответственно. Из этих двух уравнений я получил, что $t^7=I$, что даёт внешний семиугольник и две внутренние семиконечные звёздочки на графе (синяя стрелка — умножение на образующую t справа), а исходное уравнение $s^3=I$ дало треугольники (зелёная стрелка — умножение на s справа). Группа не коммутативна: $st=t^2s$.

[mihiv]

Что-то $t^7=I$ не получается.

[svv]

$\begin{array}{l}t^2=sts^{-1}\\[1ex]t^4=sts^{-1}\;sts^{-1}=st^2s^{-1}=s^2ts^{-2}\\[1ex]t^8=s^2ts^{-2}\;s^2ts^{-2}=s^2t^2s^{-2}=s^3ts^{-3}=t\end{array}$

[mihiv]

svv
Спасибо!

[B@R5uk]

То есть всё-таки правильный граф получился. Просто я пытался придумать группу с похожим графом, однако такую, где одна из образующих имеет 5-й порядок, а не 7-ой. Но, поскольку я начинал с картинки, а не с формул, в конце концов у меня ничего не вышло. Поэтому закралось сомнение.

Подскажите, пожалуйста, есть ли какое-нибудь название для пар групп, графы которых отличаются лишь направлением части стрелок, сохраняя топологию. Например, как у этих двух групп:



Я заметил, что если одна из образующих имеет чётный порядок, то в графе группы можно изменить направление стрелок, соответствующих умножению на другую образующую, у элементов, в которые первая входит в нечётной степени. При этом граф всё ещё останется верным графом группы, хоть уже и другой. Есть ли какое-нибудь специальное название у такого рода пар групп?

Так же я знаю, что на правой картинке — диэдрическая группа пятого порядка — $D_5$. А как называется группа на левой картинке?

-- 26.01.2020, 22:23 --

Смена направлений стрелок соответствует замене выражения $bab^{-1}=a^k$ на выражение $bab^{-1}=a^{-k}$, если я не ошибаюсь.

[vpb]

B@R5uk в сообщении #1437055 писал(а):

иэдрическая группа пятого порядка — $D_5$.

Нет, правильное ее обозначение $D_{10}$ (нижний индекс --- порядок). А вторая --- просто циклическая $Z_{10}$.

Вообще, про группы порядка $pq$ (где $p$, $q$ --- простые) написано в книге Холл, Теория групп, гл.4. А также про $p$, $p^2$, $p^3$. А порядка $15$ --- это только $Z_{15}$.

[B@R5uk]

vpb в сообщении #1437063 писал(а):

А вторая --- просто циклическая $Z_{10}$.

Так ведь циклическая группа всегда порождается только одной образующей. А здесь их две. Или я что-то не понимаю?

vpb в сообщении #1437063 писал(а):

Нет, правильное ее обозначение $D_{10}$

В книге Группы и их графы (авторы Гроссман и Магнус) используется обозначение с половинчатым индексом для всех диэдрических групп. В вики пишут, что используется и то, и другое обозначение. Плохо, конечно, что путаница такая.

[vpb]

B@R5uk в сообщении #1437065 писал(а):

Или я что-то не понимаю?

Да, кой-чего не понимаете.

[arseniiv]

B@R5uk
Посмотрите, что делает $ab$, то есть движение один раз по синей и следом один раз по зелёной дуге, с левым графом.

-- Пн янв 27, 2020 03:30:17 --

B@R5uk в сообщении #1437065 писал(а):

А здесь их две.

Можно даже десятью породить. $\{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j\mid b^{10}a, b^9b, b^8c, b^7d, b^6e, b^5f, b^4g, b^3h, b^2i, bj\}$

[B@R5uk]

arseniiv в сообщении #1437075 писал(а):

Посмотрите, что делает $ab$

О! Потрясающе! Я понял. arseniiv, большое СПАСИБО! Ещё один фонарь осмысления на моей улице знаний. А я то думал пара совсем не примечательных групп.

То есть задание левой группы элементами a и b в некотором смысле не является минималистичным, верно? Это сразу же порождает вопрос: как такие случаи выявлять?

[arseniiv]

Не уверен, что нет теоремы, что для общего случая не существует алгоритма. Ограничившись конечными группами, можно конечно просто перебирать все подмножества группы мощностью меньше исходного порождающего множества, но это конечно хочется оставить на случай, когда ничто другое не помогло. Вероятно, в системах типа GAP или PARI/GP реализованы какие-то алгоритмы на этот счёт, и можно было бы поискать что есть и как работает, но это тоже долго; в общем подождём знающих.

[Munin]

B@R5uk
Вообще почитайте про полупрямое произведение групп.

[B@R5uk]

Munin, спасибо за наводку, но определение пока выше моего понимания: слишком много неизвестных мне терминов. Пока понял лишь то, что элементами новой группы являются упорядоченные пары исходных групп с хитрой операцией над ними.

arseniiv в сообщении #1437078 писал(а):

Ограничившись конечными группами, можно конечно просто перебирать все подмножества группы мощностью меньше исходного порождающего множества...

Что-то как-то сложно. По-моему достаточно просто просмотреть все элементы группы и убедиться, что порядок каждого из них меньше размера группы. Причём сразу можно выкинуть единичный элемент и две образующие. А если же такой элемент найдётся, то его можно взять как порождающий и получить все остальные элементы группы, — то есть такая группа будет циклической. Можно даже программку написать, если поднапрячься.

[B@R5uk]

Перед задачей, описанной в первом посте, в книге есть такая задача:

Цитата:

Покажите, что любая группа G с двумя образующими s и t, удовлетворяющими соотношениям

$$\begin{matrix}s^n=I,&sts^{-1}=t^k,\\ \end{matrix}$$

где n и k — целые числа, $n\ne 0, k>0$, будет группой конечного порядка. Покажите так же, что G не может содержать более чем $(k^n-1)n$ различных элементов.

В принципе задача не сложная, так как исходя из факта, что любую комбинацию элементов группы и их обратных можно с помощью уравнений выше привести к виду

$$t^a s^b,$$

получаем, что число элементов группы равно произведению порядков образующих. Остаётся показать, что

$$t^{k^n-1}=I$$

Для этого сначала надо научиться менять в произведениях пачки элементов s и t местами, а точнее доказать верность формул

$$\begin{matrix}s^m t=t^{k^m}s^m,&st^m=t^{mk}s\\ \end{matrix}$$

Это лучше делать по индукции. При $m=1$ формулы совпадают и верны по условию задачи. Допустим, формулы верны при $m-1$, тогда:

$$s^m t=s(s^{m-1}t)=s(t^{k^{m-1}}s^{m-1})=(st^{k^{m-1}})s^{m-1}=(t^{k^{m-1}k}s)s^{m-1}=t^{k^m}s^m$$

$$st^m=(st^{m-1})t=(t^{(m-1)k}s)t=t^{(m-1)k}(st)=t^{(m-1)k}(t^ks)=t^{mk}s$$

Получаем верность формул при любых m. Теперь, вооружившись доказанным, можно провести следующие выкладки:

$$I=t^{-1}t=t^{-1}It=t^{-1}s^nt=t^{-1}t^{k^n}s^n=t^{k^n-1}$$

Что и требовалось доказать. Хотя характер изложения книжки подразумевает, что есть более простое доказательство без использования ММИ.

Однако, что меня действительно зацепило в этой задаче, так это слова "не более чем" в фразе "...G не может содержать более чем $(k^n-1)n$ различных элементов." Я правильно понимаю, что может быть и меньше элементов? То есть, если мы возьмём какой-нибудь нетривиальный делитель h ($h>k$) числа $k^n-1$ (если он существует) и положим

$$t^h=I,$$

то мы всё так же получим группу? То есть исходные уравнения определять группу неоднозначно?

[B@R5uk]

Нашёл две группы, у которых не смотря на наличие образующей всего 2-го порядка граф нетривиален: есть и многоугольник, и многоугольная звёздочка. У такого рода групп есть какое-нибудь специальное название?



Надо бы ещё проверить, что эти группы не вырождаются в обычную циклическую 16-го порядка удачным выбором порождающего элемента. Решил обозначать, кстати, элементы не произведением образующих в степенях, а парой чисел, обозначающие эти степени.