Достоверность события

[igor_ivanov]

Допустим, среднестатистический человек способен определять массу предмета у него в руках с погрешностью $X$, подчиняющейся нормальному распределению с матожиданием $\mu$ и стандартным отклонением $\sigma$.

Можно ли интерпретировать плотность распределения погрешности $X$ как функцию, характеризующую вероятность того, что масса предмета с точностью до заданного числа знаков после запятой отличается на заданную величину от оценки массы предмета?

Например, при $\mu=0$, $\sigma=1$ и точности до $0.1$ имеем: с $P=0.0399$ масса предмета равна её оценке, с $P=0.0242$ масса предмета на единицу больше или меньше оценки и т.д.

Иными словами, масса предмета с достоверностью $P=0.0399$ равна оценке массы, масса предмета с достоверностью $P=0.0242$ равна (оценка массы $+1$) или (оценка массы $-1$) и т.д.

Ещё вопросы:
1) Верны ли мои рассуждения?
2) Можно ли интерпретировать плотность вероятности случайной величины как «плотность достоверности» неслучайной величины?
3) Как математики называют распределения, описывающие достоверность событий?
4) Можно ли понимать достоверность как вероятность того, что неслучайная величина равна заданному значению?

[Aritaborian]

igor_ivanov в сообщении #1436718 писал(а):

подчиняющейся нормальному распределению

Масса неотрицательна, а величина, подчиняющаяся нормальному закону — нет.

[igor_ivanov]

Aritaborian в сообщении #1436720 писал(а):

Масса неотрицательна, а величина, подчиняющаяся нормальному закону — нет.

Сформулирую более строго: «среднестатистический человек способен определять массу предмета $M$ у него в руках с погрешностью $X$, подчиняющейся усечённому нормальному распределению с матожиданием $\mu$, стандартным отклонением $\sigma$ и границами $[-M; M]$».

[arseniiv]

Aritaborian
Ну это не страшно. Можно считать, что это верно лишь для какого-то интервала масс. Потому что если захотеть реальности, там всё зависит ещё и от формы предмета — мелкие той же массы обычно кажутся более тяжёлыми, чем крупные. И наверняка величина абсолютной погрешности побольше для больших масс.

[Sicker]

igor_ivanov в сообщении #1436718 писал(а):

Можно ли интерпретировать плотность распределения погрешности $X$ как функцию, характеризующую вероятность того, что масса предмета с точностью до заданного числа знаков после запятой отличается на заданную величину от оценки массы предмета?

Можно

igor_ivanov в сообщении #1436718 писал(а):

Верны ли мои рассуждения?

Да

igor_ivanov в сообщении #1436718 писал(а):

Можно ли интерпретировать плотность вероятности случайной величины как «плотность достоверности» неслучайной величины?

У вас тут все величины случайны, в том числе истинное значение массы предмета (ему нужно задать априорную равномерную вероятность распределения согласно байесовой статистике)

igor_ivanov в сообщении #1436718 писал(а):

Как математики называют распределения, описывающие достоверность событий?

Т.к. достоверность=вероятность, то вероятностными распределениями

igor_ivanov в сообщении #1436718 писал(а):

Можно ли понимать достоверность как вероятность того, что неслучайная величина равна заданному значению?

У вас тут все величины случайны, и истинное значение массы, и значение массы, которое вы получите при измерении какого-то конкретного значения массы определенным методом с погрешностью.

[arseniiv]

igor_ivanov в сообщении #1436718 писал(а):

Например, при $\mu=0$, $\sigma=1$ и точности до $0.1$ имеем: с $P=0.0399$ масса предмета равна её оценке, с $P=0.0242$ масса предмета на единицу больше или меньше оценки и т.д.
<…>
1) Верны ли мои рассуждения?

Вот тут числа у вас правильные, но как вы их получили (как интегралы $\int\limits_{a-0{,}1/2}^{a+0{,}1/2} f(x)\,dx$ для $a = 0$ и $a = 1$, где $f$ — плотность $\mathcal N(0, 1)$), по тексту совершенно не видно. Так что может случиться, что вы получили их из неправильных рассуждений — точно не определишь.

igor_ivanov в сообщении #1436718 писал(а):

2) Можно ли интерпретировать плотность вероятности случайной величины как «плотность достоверности» неслучайной величины?
3) Как математики называют распределения, описывающие достоверность событий?
4) Можно ли понимать достоверность как вероятность того, что неслучайная величина равна заданному значению?

Это всё нормальные вероятности, мне вот как-то не видно смысла придумывать им ещё одно имя.

-- Сб янв 25, 2020 02:13:08 --

Sicker в сообщении #1436775 писал(а):

У вас тут все величины случайны, и истинное значение массы, и значение массы, которое вы получите при измерении какого-то конкретного значения массы определенным методом с погрешностью.

Вообще говоря тут с точностью говорится только об одной случайной величине — ошибке $\Delta m$. Измеренную массу $m'$ мы постулируем равной $\Delta m + m$, где $m$ и $\Delta m$ независимы — но мы ничего не знаем ничего о распределении $m$. Это может быть в принципе и константа (не вырожденная случайная величина, а просто число), тогда про независимость можно не говорить, а случайных величин тут две, а не три.

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1436784 писал(а):

мы ничего не знаем ничего о распределении $m$

Согласен, но мы ее полагаем равномерной на от интервале, сравнимом с величиной дисперсии измерения

[arseniiv]

В том-то и дело, что нам не надо ничего про неё полагать в тех вопросах, которые задал ТС. Где в тех интегралах фигурирует распределение $m$? Нигде.

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1436784 писал(а):

Это может быть в принципе и константа

Не может это быть просто константой, точнее это константа с равномерным распределением на характерном интервале дисперсии измерительного прибора

arseniiv в сообщении #1436784 писал(а):

не вырожденная случайная величина, а просто число

В чем разница?

arseniiv в сообщении #1436795 писал(а):

В том-то и дело, что нам не надо ничего про неё полагать в тех вопросах, которые задал ТС

ТС что-то говорит про достоверность (вероятность) неслучайной величины, что терминологический абсурд

arseniiv в сообщении #1436795 писал(а):

Где в тех интегралах фигурирует распределение $m$?

У нас интегралы по переменной $m$, и правильно писать не

arseniiv в сообщении #1436784 писал(а):

$\Delta m + m$

а $\Delta m + m_0$

-- 25.01.2020, 02:29 --

arseniiv в сообщении #1436784 писал(а):

но мы ничего не знаем ничего о распределении $m$

arseniiv в сообщении #1436795 писал(а):

Где в тех интегралах фигурирует распределение $m$?

Мы знаем распределение $m$ - оно имеет нормальное распределение с центром в измеренном значении $m_0$ и приборным отклонением $\Delta m$

-- 25.01.2020, 02:31 --

arseniiv в сообщении #1436784 писал(а):

Измеренную массу $m'$ мы постулируем равной $\Delta m + m$

Вообще таки измеренную массу мы постулируем равной $m$ (в моих обозначениях $m_0$), что также соответствует максимальной вероятности этого значения

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1436799 писал(а):

Не может это быть просто константой, точнее это константа с равномерным распределением на характерном интервале дисперсии измерительного прибора

Вот у вас там наверно рядом клавиатура находится. У идеализированной клавиатуры есть масса, постоянная. Идеализированные весы прибавляют к её значению нормально распределённую ошибку и выдают. Ничего лишнего.

Sicker в сообщении #1436799 писал(а):

У нас интегралы по переменной $m$

У меня ничего такого нет, и до того моего поста тоже, так что нет уж, эта буква обозначает то, что я ей приписал.

Sicker в сообщении #1436799 писал(а):

Вообще таки измеренную массу мы постулируем равной $m$ (в моих обозначениях $m_0$), что также соответствует максимальной вероятности этого значения

То, что вы сами запутались в своих переобозначениях, только добавляет абсурда ситуации.

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1436802 писал(а):

Вот у вас там наверно рядом клавиатура находится. У идеализированной клавиатуры есть масса, постоянная

Постоянная и неизвестная, с априорным распределением

Sicker в сообщении #1436799 писал(а):

с равномерным распределением на характерном интервале дисперсии измерительного прибора

arseniiv в сообщении #1436802 писал(а):

Идеализированные весы прибавляют к её значению нормально распределённую ошибку и выдают.

А все, понял Тогда в ваших обозначениях измеренная масса будет $m'$, с соответствующей дисперсией $\Delta m$

arseniiv в сообщении #1436802 писал(а):

Ничего лишнего.

Вы забыли указать распределение погрешности

arseniiv в сообщении #1436802 писал(а):

У меня ничего такого нет, и до того моего поста тоже, так что нет уж, эта буква обозначает то, что я ей приписал.

Вы вверху берете интегралы по переменной $x$, а надо по $m$, у нас тут нет $x$

arseniiv в сообщении #1436802 писал(а):

То, что вы сами запутались в своих переобозначениях, только добавляет абсурда ситуации.

У меня все понятно - у нас есть априорное вероятностное распределение массы образца, есть независимое нормальное распределение ошибки, которая прибавляется к массе образца, и собственно само измерение. Теперь мы по этому измерению можем построить новое вероятностное распределение массы образца, которое будет нормальным распределением с центром в точке самого измерения $m'$ и дисперсией $\Delta m$. Собственно при измерениях так и пишут $m' \pm \Delta m$

[igor_ivanov]

arseniiv в сообщении #1436784 писал(а):

Вот тут числа у вас правильные, но как вы их получили?

Пусть $M$ – истинная масса предмета, $m=M+X$ – оценка массы, $X$ – погрешность измерения массы, подчиняющаяся нормальному распределению с матожиданием $\mu=0$ и стандартным отклонением $\sigma$, $[M+a;M+b]$ – интервал интегрирования, $P$ – вероятность (достоверность).

Тогда $P=\int\limits_{M+a}^{M+b}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(m-M)^2}{2\sigma^2}}dm=0.5\cdot[erf(\frac{b}{\sqrt{2}\sigma})-erf(\frac{a}{\sqrt{2}\sigma})]$.

При $\sigma=1$, $a=-0.05$ и $b=0.05$ имеем $P=0.0399$. При $\sigma=1$, $a=0.95$ и $b=1.05$ имеем $P=0.0242$. При $\sigma=1$, $a=-1.05$ и $b=-0.95$ имеем $P=0.0242$.

Sicker в сообщении #1436775 писал(а):

У вас тут все величины случайны, в том числе истинное значение массы предмета (ему нужно задать априорную равномерную вероятность распределения согласно байесовой статистике)

Почему Вы считаете, что предмет массы M был выбран из совокупности предметов с равномерным распределением масс? По-моему, вероятность (то есть значение интеграла) не зависит от массы предмета, а значит, и от типа распределения предметов по массам. Если предмет массы M был выбран не из равномерного, а из усечённого нормального распределения, в расчётах ведь ничего не изменится?

[B@R5uk]

igor_ivanov в сообщении #1436821 писал(а):

а из усечённого нормального распределения, в расчётах ведь ничего не изменится?

Я не знаю, как строго определяется усечённое нормальное распределение, но во всяком случае должна измениться нормировка распределения (чуть-чуть в зависимости от дальности усечения).

[igor_ivanov]

B@R5uk в сообщении #1436823 писал(а):

Я не знаю, как строго определяется усечённое нормальное распределение, но во всяком случае должна измениться нормировка распределения (чуть-чуть в зависимости от дальности усечения).

Если считать, что погрешность измерения массы X имеет не нормальное распределение, а усечённое нормальное, тогда действительно нормировка изменится и вероятности P, которые я считал, немного возрастут.

Однако я писал про распределение не для $X$, а для $M$ – истинной массы предмета, в ответ на комментарий от Sicker. По-моему, достаточно сказать, что $M>0$, и без разницы из какого распределения $M$ было выбрано.

[Sicker]

igor_ivanov
Тогда непонятно что вы вообще делаете. Что хотите получить?

igor_ivanov в сообщении #1436821 писал(а):

Тогда $P=\int\limits_{M+a}^{M+b}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(m-M)^2}{2\sigma^2}}dm=0.5\cdot[erf(\frac{b}{\sqrt{2}\sigma})-erf(\frac{a}{\sqrt{2}\sigma})]$.

При $\sigma=1$, $a=-0.05$ и $b=0.05$ имеем $P=0.0399$. При $\sigma=1$, $a=0.95$ и $b=1.05$ имеем $P=0.0242$. При $\sigma=1$, $a=-1.05$ и $b=-0.95$ имеем $P=0.0242$.

Ваш интеграл можно с хорошей точностью заменить произведением значения в нуле на ширину области интегрирования.

igor_ivanov в сообщении #1436821 писал(а):

Почему Вы считаете, что предмет массы M был выбран из совокупности предметов с равномерным распределением масс?

Не равномерным, а

Sicker в сообщении #1436788 писал(а):

полагаем равномерной на от интервале, сравнимом с величиной дисперсии измерения

igor_ivanov в сообщении #1436821 писал(а):

Если предмет массы M был выбран не из равномерного, а из усечённого нормального распределения, в расчётах ведь ничего не изменится?

Изменится апостериорное распределение истинной массы предмета $M$