--mS--Нет, но все-таки здесь что-то не то: Если все слагаемые распределены равномерно на нуль-один, то матожидание их суммы не будет равно
...
Возможно, дело в том, что ЦПТ дает нам сходимость к нормальному - но в фиксированной точке. А мы пытаемся использовать это в "ползающей" точке (
у нас зависит от
)...
Я посчитал (там все делается точно) для суммы стандартно-нормальных сл. величин: получилась сходимость к нормальному с параметрами
, что, по крайней мере, согласуется с "линейностью" матожидания.
Действуя аналогично всему что было, получил в исходной задаче сходимость к сл. величине с плотностью
,
- индикатор единичного отрезка. Но тут все равно не сходится с матожиданием: я опять использовал асимптотику, а она врет, видимо.
Так что - интересная задачка, и ждет решения.
![$$
\mathsf P\left(X_1<x, \; \dfrac{S_n-\frac{n}{2}}{\sqrt{12n}}<y \right) \begin{cases} \leqslant \mathsf P(X_1<x)\mathsf P\left(\dfrac{S_{n-1}-\frac{n}{2}}{\sqrt{12n}}<y \right)\to \Phi(y)F_{X_1}(x) \\[1em] \geqslant \mathsf P(X_1<x)\mathsf P\left(\dfrac{1}{\sqrt{12n}}+\dfrac{S_{n-1}-\frac{n}{2}}{\sqrt{12n}}<y \right)\to \Phi(y)F_{X_1}(x).
\end{cases}
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/e/cde6fd264c8c96710683ee5a3bd1aebe82.png "$$
\mathsf P\left(X_1<x, \; \dfrac{S_n-\frac{n}{2}}{\sqrt{12n}}<y \right) \begin{cases} \leqslant \mathsf P(X_1<x)\mathsf P\left(\dfrac{S_{n-1}-\frac{n}{2}}{\sqrt{12n}}<y \right)\to \Phi(y)F_{X_1}(x) \\[1em] \geqslant \mathsf P(X_1<x)\mathsf P\left(\dfrac{1}{\sqrt{12n}}+\dfrac{S_{n-1}-\frac{n}{2}}{\sqrt{12n}}<y \right)\to \Phi(y)F_{X_1}(x).
\end{cases}
$$")
. Т.е. при подходящем сдвиге и нормировке предельное распределение факторизуется.
- что согласуется с ожиданиями мат)