Плоская волна в цилиндрических координатах

[Pulseofmalstrem]

Добрый день, хочу проверить правильно ли я понимаю то, как плоские волны следует записывать в цилиндрических координатах. Итак, в инвариантом векторном виде плоская волна записывается всегда очень просто:
$\mathbf{\xi}=\mathbf{\psi}exp [i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - \omega t)]$,
где $\mathbf{\xi}$ - трехмерная плоская волна, $\mathbf{\psi}$ - ее амплитуда, $\mathbf{k}$ - ее волновой вектор, а $\mathbf{x}$ - радиус-вектор.
Собственно, теперь захотим записать тоже самое, только в покомпонентном виде в цилиндрических координатах. Нетривиальным, здесь является только запись скалярного произведения:
$\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}= k_{r} x_{r} + r^{2}k_{\theta} x_{\theta} + k_{z} x_{z}$
Далее, поскольку в цилиндрических координатах радиус-вектор имеет вид
$\mathbf{x}=x_r \mathbf{e_{r}} + x_z \mathbf{e_{z}}$,
то
$\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}= k_{r} x_{r}+ k_{z} x_{z}$
А плоская волна записывается вот так:
$\xi_{i}= \psi_{i}exp[i(k_{r} x_{r}+ k_{z} x_{z} - \omega t)]$
Немного смущает, что такая плоская волна получается не зависит от угловой координаты, а потому она аксиально-симметрична, что как-то странно и наводит на мысль, что я что-то делаю не правильно.

[Alex-Yu]

Pulseofmalstrem в сообщении #1436432 писал(а):

не зависит от угловой координаты,

$$ k_r=k_r({\theta}) $$

[svv]

$\mathbf k\cdot \mathbf x=\mathbf k_\perp\cdot \mathbf x_\perp+k_z x_z$
Здесь значок $\perp$ означает составляющую вектора, перпендикулярную оси $z$.
Теперь воспользуйтесь формулой $\mathbf a\cdot\mathbf b=ab\cos\gamma$.

[realeugene]

Pulseofmalstrem в сообщении #1436432 писал(а):

$\mathbf{x}=x_r \mathbf{e_{r}} + x_z \mathbf{e_{z}}$,

Что такое $\mathbf{e_{r}}$?

[Pulseofmalstrem]

realeugene
Базисные вектор по радиальной координате
$\mathbf{e_{r}}=\nabla r$

[Munin]

В цилиндрических координатах обычно нет проблем с $\mathbf{e}_r$ и $\mathbf{e}_z.$ Основные разночтения возникают вокруг $\mathbf{e}_\theta$: то ли брать его как $\nabla\theta,$ то ли как $\partial/\partial\theta,$ то ли нормировать, то ли ещё чего.

[realeugene]

Pulseofmalstrem в сообщении #1436550 писал(а):

Базисные вектор по радиальной координате

Он одинаковый в различных точках при различных углах?

[warlock66613]

Может быть полезным задаться таким вопросом: рассмотрим волну, бегущую вдоль оси $x$, какие у такой волны $k_r$ и $k_\theta$? А если волна бежит вдоль оси $Oy$?

[Утундрий]

(Оффтоп)

Дано скалярное произведение в каких-то координатах. Каков вид этого же скалярного произведения в других координатах, если эти координаты некоторые?